Appello 11settembre2019

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 11/09/2019 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori. • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato. • Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Da un mazzo di 51 carte (consueto mazzo di 52 a cui manca il re di cuori) si estraggono due carte e si vince se la prima ` e una figura o se la seconda ` e una carta di cuori. Calcolare la probabilit` a di vittoria. 2 Siano X∼ Bern(0.5) e Y ∼ Bern(0.1) due variabili aleatorie indipendenti, e sia Z = X⊕Y , dove⊕ ` e l’operatore di or esclusivo (xor). Determinare: (a) la legge di probabilit` a diZ; (b) se le variabili aleatorie Z e Y sono indipendenti. 3 Sia X∼ Exp(λ) e W =bX con 0 <b< 1. Trovare la legge di probabilit` a diW . Suggerimento: porre particolare attenzione al fatto che 0<b< 1. 4 I clienti arrivano alle Poste secondo un processo di Poisson con intensit` a di 30 clienti all’ora. Ci sono 3 tipi di servizi alle Poste, A, B eC, e si sa che i clienti scelgono in maniera indipendente ed equiprobabile uno dei tre servizi. Sapendo che le Poste aprono alle ore 09:00, e che voi arrivate alle ore 09:10 pescando un biglietto per il servizio A, qual ` e la probabilit` apX(x) di estrarre il biglietto Ax, per x≥ 1? Ad ogni cliente viene assegnato un numero progressivo, partendo da 1, in base al servizio scelto. Ad esempio, se sono arrivati 3 clienti di cui 2 per il servizio A e 1 per il servizio C, allora il sistema emette i biglietti A01, A02, e C01. 5 Si consideri la catena di Markov tempo-discreta in figura. La catena si trova nello stato 1 al tempo 1. (a) Classificare gli stati…