Appello 12febbraio2019

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 12/02/2019 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori. • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato. 1 Si consideri l’alfabeto italiano di 21 lettere e tutte le parole (anche di senso non compiuto) che si possono formare con 5 lettere (anche ripetute). (a) Qual ` e la probabilit` a che una parola formata a caso sia palindroma? (b) Ipotizzando di avere formato una parola palindroma con 3 lettere diverse, qual ` e la probabilit` a che permutando a caso le lettere si ottenga una parola palindroma? Una parola ` e palindroma se non ` e distinguibile letta da sinistra a destra o viceversa. Ad es. AVEVA. 2 Una v.a. continua X ha ddp fX(x) =α √ 1−x2 per−1<x< 1 e fX(x) = 0 altrove. Determinare: (a) il valore di α e il valore atteso E[X]. (b) senza svolgere conti, quale v.a. tra X∼ fX e Y ∼U [−1, 1] ha varianza maggiore. Giustificare la risposta. 3 Un segnale X ` e composto dalla somma di 10 componenti casuali Ni indipendenti e distribuite identica- mente comeN (0, 1). Prima di essere trasmesso, il segnale X viene amplificato da un amplificatore che inserisce pesanti distorsioni se X >5. Qual ` e la probabilit` a di osservare un segnale non distorto all’uscita dell’amplificatore? 4 Si consideri un mazzo ben mescolato di carte con 20 carte rosse e 20 carte nere, ed un esperimento dove si estraggono (con reinserzione) delle carte una dopo l’altra da tale mazzo. L’esperimento si conclude quando vengono estratte 3 carte consecutive dello stesso colore. (a) Proporre una catena di Markov che descriva l’evoluzione dell’esperimento.…