Appello 19luglio2021

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Informazione e stima – 19/07/2021 ˆ Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti ˆ Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori ˆ Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. ˆ Riportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato ˆ Se consegnato online, nominare il file solo con il proprio codice persona ˆ Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Si lancia 100 volte un dado a 6 facce non truccato. Si calcoli la probabilit` a di ottenere esattamente 30 volte un risultato maggiore o uguale 5, sia in modo esatto sia utilizzando un’appropriata approssimazione. 2 X e Y sono variabili casuali Gaussiane con coefficiente di correlazione ρ[X,Y ] non nullo, valore medio nullo e varianza 4 e 9, rispettivamente. Si calcolino il valore massimo e minimo possibili della varianza della v.a. Z =X +Y . 3 Sia X∼ Exp(λ). Determinare la densit` a di probabilit` a diY = log(X). 4 SiaXn∼N ( 3, 1 n ) , per n∈ N, una successione di v.a. indipendenti, e sia Yn = (−1)nXn. Determinare se la successione{Yn}∞ n=1 converge in probabilit` a e, se s` ı, a quale valore. 5 La distribuzione standard di Cauchy ` e data da fX(x) = 1 π(1+x2) per x∈ R. Partendo da un generatore di campioni indipendenti Ui distribuiti come U∼U [0, 1], descrivere un algoritmo per generare campioni distribuiti come X. Quant’` e l’efficienza media dell’algoritmo proposto? Si ricorda che d dx arctan(x) = 1 1+x2 . 6 Si vogliono salvare su file i primi 1000 istanti di arrivo di un processo di Bernoulli con parametro p = 0.3. In particolare, si decide di salvare su file il valore di tutti i primi 1000 tempi di interarrivo. Mediamente quanto sar` a lungo (in bit) il pi` u piccolo file che contiene queste informazioni? Soluzioni Problema 1 La…