appello 2 QA sol 230718 200423

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Cognome: Nome: No iscrizione: Matricola: Analisi e Geometria 1 A Appello 2 (30/01/2023) Punteggio totale: Questionario (Totale: 10 punti) Segnare le affermazioni corrette (una e una sola per ogni quesito) 1. Pern∈ N, poniamo In = [ 0, 1 n + 1 ] e J = ⋂ n∈N In (intersezione di tutti gliIn). (a) J è l’insieme vuoto. ⃝ (b) J contiene esattamente 1 punto. ✓⃝ (c) J contiene infiniti punti. ⃝ (d) Per ognin∈ N vale l’inclusioneIn⊂In+1 ⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 2. Definiamo le successioni inR: an =n loge ( 1 + 2 n ) ; bn = (2n + 1 2n )2n (n≥ 1). Poniamo: ℓ1 = lim n→+∞ an; ℓ2 = lim n→+∞ bn. (a) ℓ1 = +∞ e ℓ2 = 1. ⃝ (b) ℓ1 = 2 e ℓ2 = 1. ⃝ (c) ℓ1 = 0 e ℓ2 =e2. ⃝ (d) ℓ1 = 2 e ℓ2 =e. ✓⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 3. Per ognin∈ N, sia un = n∑ i=0 1 3i = 1 + 1 3 +··· + 1 3n e S = lim n→+∞ un. (a) S = 3 2 ✓⃝ (b) S = 2 3 ⃝ (c) S = 0 ⃝ (d) S = +∞ ⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 4. Sia f : [a,b ]→ R (a,b∈ R,a<b ) una qualunque funzione continua. (a) Se f (a)f (b)> 0, alloraf non ha zeri in[a,b ]. ⃝ (b) Postom = f (a)+f (b) 2 , la funzioneg(x) = f (x)−m ha uno zero in[a,b ]. ✓⃝ (c) Se f (a)f (b)< 0, alloraf ha uno zero, e uno solo, in[a,b ] ⃝ (d) Se f (a)<f (b) e c∈ (a,b ), alloraf (c)∈ (f (a),f (b)). ⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 1 5. Definiamo (pera∈ R): fa : R→ R, fa(x) =    ex− 1−x x2 x> 0 x2 +ax + 1 x≤ 0 (a) Per ognia∈ R, fa è derivabile. ⃝ (b) Per ognia∈ R, fa non è derivabile. ✓⃝ (c) Per ognia∈ R, fa è continua e non derivabile. ⃝ (d) Se a =− 1 2, fa è derivabile. ⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 6. Sia f : R→ R una funzione derivabile tale chef (0) = 0, f′(0) = 3. Poniamo: L = lim x→0 f (x) −1 +√1 + 2x (a) L = 3 ✓⃝ (b) I dati non sono sufficienti per determinareL. ⃝ (c) L = +∞…