Appello 27gennaio2020

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 27/01/2020 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare corret tori. • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticam ente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni f oglio consegnato. • Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Sapendo di aver estratto (senza reinserimento) due carte ross e da un mazzo ben mescolato di 52 carte, qual ` e la probabilit` a che la terza carta estratta sia di cuori? 2 Siano X ∼ U [0, 1] e Y ∼ Bern(0.5) due variabili aleatorie indipendenti, e sia Z = X + Y . Determinare la legge di probabilit` a di Z e graficarla. 3 Siano X ∼ N (0, 1) e Y ∼ N (1, 2) due variabili aleatorie Gaussiane con coefficiente di correlazione ρ[X; Y ] = 0 .5. Calcolare E[(X − Y )2]. 4 In un negozio ci sono due casse che condividono una coda unica. Il p rimo cliente della coda viene servito dalla prima cassa che si libera. Sapendo che • all’orario di chiusura ci sono 10 clienti in coda e che le casse sono gi` a o ccupate, e • il tempo di servizio di ogni cassa ` e T ∼ Exp(λ = 1/30) secondi indipendentemente per ogni cliente, calcolare qual ` e il tempo medio dopo il quale entrambe le casse saran no chiuse. Suggerimento: ragionare in termini di oppurtuni split e mer ge di processi aleatori. 5 Si consideri la catena di Markov tempo-discreta in figura. La cate na si trova nello stato 1 al tempo 1. (a) Classificare gli stati in transienti e ricorrenti. (b) La catena ` e periodica? Giustificare la risposta (c) Qual ` e la probabilit` a di trovarsi nello stato 1 dopo un lungo periodo? 1 2 4 5 3 0.5 0.5 1 0.5 1 0.5 1 6 Si consideri il lancio di due dadi ben bilanciati a 4 facce, e si suppon ga di ripetere…