appello gennaio 2019 soluzioni

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Appello Appello 15 Gennaio 2019 Cognome: Nome: Matricola: •Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1.Si consideri l’applicazione lineareL:R3→R3definita da L([x, y, z]T)= ⎡ ⎣ 11 −1 −13 −1 −11 1 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ x y z ⎤ ⎦. (a)Determinare la matrice rappresentativaAdiLrispetto alla base B={[1,1,1]T,[0,1,1]T,[0,0,1]T}; (b)Stabilire seA` e diagonalizzabile e, in caso affermativo, scrivere una matricePche diagonalizzaA; (c)Stabilire per quali valori dik∈Rla matriceA+kI3,d o v eI3` e la matrice identica di ordine 3, ` e la matrice rappresentativa di un endomorfismo suriettivo. 11punti a Abbiamo 111t 1i 1ITLO11t o22 2O11t 0O1t 111I1111I2oo1t Quindiperdefinizione la matricerappresentativadi Lrispettoallabase Bè attoIl b Lamatriceae triangolare altaeisuoi autori torisono quindiglielementi sulladiagonale ovvero 122 Aediagonalizzabile seesolose l'autovaloredoppio 2 èregolare ovvero seesolose r a21 32 1 A2I f quindimia2111 e lamatrice o aediagonalizzabile contiprecedentimostranoche a 1i teautovetturedil relativoa9 nellabaseBilvettoreecorrispondea 100J Gliautoritari relativi a2sitrovano risolvendo il sistema formato dall'unicaequazione Z 0 si deducechesono della forma y XII 10 III yO1Ot UnamatricePche diagonalizza Aè p c a KI rappresentaun endomorfismoserriettivo se non èsingolare ovverose Knon l'autovalore dia Quindi k 1 2 2.Si consideri il sistema lineare ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ kx+y−z=1 x+( 2−k)y−z=k (k+ 1)x+2y−(k+ 1)z=2 (a)Discutere, al variare del parametrok∈R, l’esistenza di soluzioni del sistema; (b)Interpretare geometricamente i risultati ottenuti; (c)Calcolare le…