Calcolo delle primitive

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METODI DI CALCOLO DELLE PRIMITIVE§1GLI INTEGRALI INDEFINITI ELEMENTARIIl “teorema fondamentale del calcolo integrale” garantisce che se f è Riemann-integrabile ed esisteuna funzione F(x)=f(x)dx∫ detta primitiva o integrale indefinito per cui ′F(x)=f(x) alloraf(x)dxab∫=F(b)−F(a)È atresì vero che se f è continua – come quasi sempre nell’ambito di modelli matematici attinenti alla“fisica classica” in virtù del principio natura non facit saltus – tale F esiste senz’altro.Da qui l’impulso ad indagare i metodi di calcolo delle primitive, ciò che costituisce un ampio capitolodell’analisi matematica non esente da difficoltà.La tabella che segue discende in modo pressoché immediato da quella delle derivate fondamentali.Si rammenti che se ′F(x)=′G(x) allora D[F(x)−G(x)]=0 onde, per il teorema di Lagrange, F(x)−G(x)=costante. Le primitive dunque – quando esistono – sono definite a meno di una costante additiva arbitraria. Nel seguito prenderemo in esame non altro che funzioni integrande localmente continue. (1) xµdx∫=xµ+1µ+1+c(per µ≠−1)(7) tanxdx∫=−lgcosx+c(2) axdx∫=axlga+c(8) 1cos2xdx⌠⌡⎮=tanx+c(3) e∫xdx=ex+c(9) 1sen2xdx⌠⌡⎮=−cotx+c(4) 1xdx⌠⌡⎮=lgx+c(10)11−x2dx⌠⌡⎮=arcsenx+c(5) senx∫dx=−cosx+c(11) 11+x2dx⌠⌡⎮=arctanx+c(6) cosx∫dx=senx+c(12) cotxdx∫=lgsenx+c §2GENERALIZZAZIONE DEGLI INTEGRALI FONDAMENTALISupponiamo y=f(x) derivabile con derivata prima continua.Per il teorema di derivazione delle funzioni composte abbiamo le primitive seguenti, pressoché diretteconseguenze delle precedenti: 2 (13) ′f(x)f(x)⎡⎣⎤⎦µdx∫=f(x)[]µ+1µ+1+c ( µ≠−1)(19) ′f(x)tanf(x)⎡⎣⎤⎦dx∫=−lgcosf(x)⎡⎣⎤⎦+c(14) ′f(x)af(x)dx∫=af(x)lga+c(20) ′f(x)cos2f(x)⎡⎣⎤⎦dx⌠⌡⎮=tanf(x)⎡⎣⎤⎦+c(15) ′f(x)ef(x)dx∫=ef(x)+c(21) ′f(x)sen2f(x)⎡⎣⎤⎦dx⌠⌡⎮=−cot′f(x)⎡⎣⎤⎦+c(16)…