Complete course notes

Pagina 1

Carbonara Nicholas Analisi 2-Prof. Migliavacca PRIMA PARTE DEFINIZIONI DA RICORDARE: • REGOLARITA’ A TRATTI: curva r: 𝐼𝐼→ ℝ𝑛𝑛, se esistono k punti ti,…,tk (tj < tj+1) tali che, detti t0 e tk+1 gli estremi di 𝐼𝐼 (non necessariamente finito) risulta per ogni 𝐽𝐽𝐽𝐽{0,1, … , 𝑘𝑘} r regolare su (tj,tj+1). Nei punti tj potrebbe avere r’ discontinua o uguale a zero • INTORNO SFERICO: di raggio 𝜀𝜀> 0 e centro 𝑃𝑃� = {𝑥𝑥𝚤𝚤� , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛� } è l’insieme 𝑈𝑈𝜀𝜀� 𝑃𝑃� � = {𝑥𝑥= (𝑥𝑥𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛)𝐽𝐽ℝ𝑛𝑛|𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑃𝑃� ) < 𝜀𝜀} • INSIEME DI LIVELLO: Data 𝒻𝒻: 𝐷𝐷𝐷𝐷ℝ𝑛𝑛→ ℝ si dice insieme di livello 𝒻𝒻∶= ℓ𝑐𝑐(𝒻𝒻) = {𝑥𝑥𝐽𝐽𝐷𝐷: 𝒻𝒻(𝑎𝑎) = 𝐷𝐷} • GRAFICO: di 𝒻𝒻: 𝐷𝐷𝐷𝐷ℝ𝑛𝑛→ ℝ𝑛𝑛 è l’insieme Γ(𝒻𝒻) = {(𝑥𝑥𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛, 𝑧𝑧)𝐽𝐽ℝ𝑛𝑛+1(𝑥𝑥𝑖𝑖, 𝑥𝑥𝑛𝑛)𝐽𝐽𝐷𝐷∩ 𝑧𝑧= 𝒻𝒻(𝑥𝑥𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛)} • DERIVATA DIREZIONALE: Sia 𝒻𝒻: 𝐸𝐸𝐷𝐷ℝ𝑛𝑛→ ℝ, sia (x0,y0) punto interno di E e v versore di ℝ2. Si dice che 𝒻𝒻 ammette derivata direzionale in P0 (x0,y0) e nella direzione v, se e solo se esiste finito: lim 𝑡𝑡→0 𝑓𝑓(𝑥𝑥0+𝑡𝑡𝑣𝑣1,𝑦𝑦0+𝑡𝑡𝑣𝑣2)−𝑓𝑓(𝑥𝑥0,𝑦𝑦0) 𝑡𝑡 e il valore di tale limite è la derivata di f in P0 in direzione v o DERIVATA PARZIALE: derivata direzionale nella direzione x,y o z secondo: 𝒻𝒻𝑥𝑥(𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0) = lim 𝑡𝑡→0 𝑓𝑓(𝑥𝑥0+𝑡𝑡𝑣𝑣1,𝑦𝑦0+𝑡𝑡∙0)−𝑓𝑓(𝑥𝑥0,𝑦𝑦0) 𝑡𝑡 = ℎ′(𝑥𝑥0) e se si pone ℎ(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥0) = lim 𝑡𝑡→0 ℎ(𝑥𝑥0+𝑡𝑡)−ℎ(𝑥𝑥0) ℎ • PROLUNGABILE PER CONTINUITA’: Sia 𝒻𝒻: 𝐴𝐴𝐷𝐷ℝ𝑛𝑛→ ℝ𝑛𝑛, sia 𝑥𝑥� punto di accumulazione di A con 𝑥𝑥� ∉ 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠 ∃ 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 lim 𝑥𝑥→𝑥𝑥� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ℓ e ℓ ⊂ ℝ𝑚𝑚; 𝒻𝒻 è prolungabile per continuità in 𝑥𝑥�. La funzione 𝒻𝒻(� 𝑥𝑥): �𝒻𝒻(𝑥𝑥) 𝑥𝑥𝐽𝐽𝐴𝐴 ℓ 𝑥𝑥= 𝑥𝑥� • DIFFERENZIABILE: nel punto (x0,y0) se e solo se 𝒻𝒻 è derivabile nel punto e lim ℎ,𝑘𝑘→0 𝑓𝑓(𝑥𝑥0+ℎ,𝑦𝑦0+𝑘𝑘)−𝑓𝑓(𝑥𝑥0,𝑦𝑦0)−∇𝑓𝑓(𝑥𝑥0,𝑦𝑦0)(ℎ,𝑘𝑘) √ℎ2+𝑘𝑘2 = 0 • PUNTO ESTREMANTE: Sia 𝒻𝒻: 𝐴𝐴𝐷𝐷ℝ𝑛𝑛→ ℝ, 𝑥𝑥� 𝐽𝐽𝐴𝐴 è detto punto di minimo/massimo assoluto per 𝒻𝒻, se e solo se 𝒻𝒻(𝑥𝑥) ≥/≤ 𝒻𝒻(𝑥𝑥�) ∀𝑥𝑥𝐽𝐽𝐴𝐴 • DERIVATE…