Compound function successive derivatives Taylors formula

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Funzione composta, derivate successive, formula di Taylor 1. Verificare che la funzione u(x, t) = 1√ t e− x2 4t soddisfa l’equazione del calore: ∂u ∂t − ∂2u ∂x2 = 0, per ogni t > 0, x ∈R. 2. Sia h(x, y) = f (x) + g(y) + ( x − y)g′(y), con f, g ∈ C 2(R). Verificare che (x − y) ∂2h ∂x∂y ≡ ∂h ∂y . 3. Sia f (x, y) = x√1 + y − y √ 1 + x. Scrivere il differenziale primo e secondo di f in (0 , 0). 4. Sia f (t) = g(a(t), b(t)), con a(t), b(t) : R →R derivabili, e g(x, y) = x2ey. Calcolare f ′(t) e f ′(2). 5. Sia f (t) = g(t2, et), con g :R2 →R derivabile. Calcolare f ′(t) e f ′(2). 6. Sia f (x, y) = g(x2 + y2), con g :R →R derivabile. Calcolare ∇f (x, y) e ∇f (2, 1). 7. Sia f (x, y) = log( g(x, y)), con g :R2 →R derivabile e positiva. Calcolare ∇f (x, y) e ∇f (1, 0). 8. Sia f (x, y) = yg(x2 − y2), dove g : R → R, g ∈ C 1(R). Dimostrare che 1 x ∂f ∂x + 1 y ∂f ∂y ≡ f y2 . 9. Sia f (t) = g(a(t), t), con g ∈ C 2(R2), e a ∈ C 2(R). Calcolare f ′′(t). 10. Sia f ∈ C (R2), e sia F (u, v) = f (u + v, u − v). Verificare che: ∂2F ∂u∂v = ∂2f ∂x2 − ∂2f ∂y 2 . 11. Sia f (x, y) ∈ C 2(R), e siano x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. Calcolare le derivate parziali di F (ρ, θ) = f (ρ cos θ, ρ sin θ); calcolare ∂2F ∂ρ2 . 12. Scrivere lo sviluppo di Taylor per la funzione f (x, y) = xy, centrato in (1, 1), arrestato al secondo ordine. 1 13. Scrivere lo sviluppo di MacLaurin per la funzione f (x, y) = sin x sin y, arrestato al secondo ordine. 14. Scrivere lo sviluppo di Taylor per la funzione f (x, y) = ( x + y) sin y, centrato in ( 0, π 2 ) , arrestato al secondo ordine. 15. Sia f (x, y) =    xy3 √x2 + y2 se ( x, y) ̸= (0, 0) 0 se ( x, y) = (0 , 0) Verificare che ∂2f ∂x∂y (0, 0) ̸= ∂2f ∂y∂x (0, 0). 16. Sia F (x, y, z) = f (r(x, y, z)), dove r(x, y, z) = √ x2 + y2 + z2 e f ` e una funzione derivabile di…