Continuit e derivabilit svolti

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CONTINUIT `A E DERIV ABILIT `A Esercizi risolti 1. Determinare lim x→ kπ/ 2 [cosx]∗ al variare dik inZ. Ove tale limite non esista, discutere l’esistenza dei limiti laterali. Identificare i punti di discontinuit`a della funzionef( x)= [cosx] ed il loro tipo. 2. Determinare per quale valore del parametroα la funzione f( x)= { √ x +1 s e x ≥ 0 [x]∗+ α sex< 0 `e continua sull’intervallo [−1,+ ∞ ). ∗ [x] denota la parte intera dix. 3. Sia f( x)= { sin(x2 ) x( √ 1+ x− 1) sex> 0 a 2 x +3 s e x ≤ 0; determinarea in modo chef risulti continua nel suo dominio. 4. Scrivere l’equazione della retta tangente nel punto di ascissax = 2 al grafico di f( x)= x +2 x2 − 1 − log(2x − 3) e ricavare la parte principale dif( x)− f(2)perx → 2. 5. Determinarne i punti di non derivabilit`a delle seguenti funzioni a) f( x)= |x2 − 1| b) f( x)= e−|x| c) f( x)= min(x2, 1 x2 ) 6. Sia f( x)= { ( x − β)2 − 2 x ≥ 0 α sinxx < 0. Determinareα eβ in modo chef sia continua e derivabile suR. 7. Verificare che le funzioni a) f( x)= x2 log|x| b) f( x)= |x|x sono prolungabili con continuit`ap e rx = 0. Le funzionif cos`ı prolungate risultano derivabili inx =0 ? 8. Siaf( x)una funzione derivabile. Dimostrare che sef `e pari alloraf ′ `e dispari, e viceversa sef `e dispari alloraf ′ `e pari. 9. Tra tutte le rettey = kx (conk> 0)trovare quella tangente al grafico dif( x)= ex in un punto di ascissax0 > 0. Utilizzare questo risultato per determinare il numero di soluzioni dell’equazioneex = kx al variare dik inR. 10. Verificare che si pu`o applicare il teorema di Lagrange alla funzionef( x)= arcsinx nel suo dominio [a, b], e determinare i “punti di Lagrange”, cio`e i puntic tali che f ′( c)= f (b)− f (a) b− a . 11. Siaf( x)= x7 + x. Verificare chef `e invertibile suR. Verificare che la funzione inversa f − 1 `e derivabile…