Determinants and scale reductions

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2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Esercizio 2.1Utilizzando il metodo di eliminazione di Gaussq risolvere i seguenti sistemi lineari: vs    x1 − x2 “f x3 rd ex1 −ex2 −ex3 re −x1 “ x2 “f x3 rh zs    ex1 −fx2 −ex3 “ x4 rd gx1 −ix2 “ x3 −ex4 rf ix1 −nx2 − x3 − x4 rg 3s    −x1 “ x2 rc x1 −fx2 − x3 rc x1 − “ 1 2x3 rc fx1 −ex2 “ 1 2x3 rc 4s    fx1 “ x2 “x3 r dc ex1 “ x2 “x3 r de gx1 −fx2 “x3 r ei Esercizio 2.2Utilizzando “il metodo di riduzione a scala2”q calcolare il determinante della matrice Ar ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ dc −f d−de −edg ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ Esercizio 2.3Si considerino i seguenti tre vettori di R3:v1rU−d,e,cV,v2r Ud,f,hV,v3r Ud,−f,dVs Determinare la dimensione e una base dello spazio vettoriale LUv1,v2,v3Vgenerato dai vettoriv1,v2,v3s Esercizio 2.4Sianov1r Ue,h,d,fVqv2r Uc,e,l,nVqv3r Ue,f,c,gVqv4r Ug,dc,m,diV quattro vettori di I R4s Determinare una base dello spazio vettoriale LUv1,v2,v3,v4Vgenerato dai vettoriv1,v2,v3,v4s Esercizio 2.5Verificare che la matrice Ar ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ ddc dcd cdd ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ ` e invertibile e determinare la matrice inversaA−1s 3 Spazi vettoriali euclidei Esercizio 3.1SianoXrUx1,x2,x3VeYrUy1,y2,y3Vdue vettori di I R3s Scrivere: an il prodotto scalareX·Y; bn la norma di X; il coseno dell’angolo tra XeYmsupponendo X, Y̸rcn; l’espressione della distanza diXdaYs 2Sviluppo di Laplace e ‘metodo di riduzione a scala’ : efficienza degli algoritmi per il calcolo del determi- nante.Per calcolare il determinante di una matriceAdi tipo sn×nt con losviluppo di Laplacesono necessarie pi` u dini moltiplicazioni sdivisionit mentre con il metodo di riduzione a scala ne servono circa n3+2n−3 3 . Perz tantoy nel caso di una matrice s25×25t sconsiderata ‘piccola’ in molte applicazioni attualit servono con lo sviluppo di Laplace circa 25i ∼1.5 1025moltiplicazioni…