Dispensa serie numeriche

Pagina 1

Capitolo 3 Serie 3.1 De finizione Sia {an} una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare signi ficato, quando possibile, alla somma a1 + a2 + ... + an + ... di tutti i termini della successione. Questa operazione formale ` e detta serie (infinita) di termine generale an, e viene anche indicata con la scrittura +∞P n=1 an Nel seguito far`ac o m o d oa v e r el ap o s s i b i l i t `a di cambiare l’indice della sommatoria, in modo da iniziare a sommare da valori diversi da 1 . Se risulta pi`u utile avere a che fare con sommatorie che iniziano da 4 , `es u fficiente cambiare n in m = n +3 , per ottenere la scrittura +∞X n=1 an = +∞X m=4 am−3. Inoltre, capiter`a di avere a che fare con successioni {an} definite per ogni n ≥ 0, ed in quei casi tratteremo con +∞X n=0 an = a0 + a1 + a2 + ... Per poter dare un signi ficato alla somma (formale) di in finiti termini, ricorriamo al seguente procedimento: i) Per ogni n ≥ 1 fissato, calcoliamo la somma dei primi n termini della serie sn = nX k=1 ak = a1 + a2 + ... + ak . ii) Abbiamo in questo modo ottenuto la successione {sn} , ic u it e r m i n is o n o 37 38 CAPITOLO 3. SERIE s1 = 1P k=1 ak = a1 s2 = 2P k=1 ak = a1 + a2 ..... sn = nP k=1 ak = a1 + a2 + ... + an e questa successione viene detta successione delle somme parziali della serie +∞P n=1 an. `E utile osservare che la costruzione della {sn} ap a r t i r ed a l l a{an} avviene in modo iterativo, perch`e sn = sn−1 + an per ogni n ≥ 2. Questo permette di a ffermare che ogni successione {Sn} `e la successione delle somme parziali di una ben precisa +∞P n=1 An; basta infatti utilizzare A1 = S1, e An = Sn − Sn−1 per n ≥ 2. Definizione 3.1 Una serie +∞P n=1 an `ed e t t aconvergente, divergente o irregolare ,as e c o n d a che lo sia la sua successione delle somme parziali.…