Double integrals

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Integrali doppi 1. Calcolare ∫∫ R f (x, y) dx dy, dove R = [0, 1] × [0, 3] e f (x, y) =    2xy y ≤ x2 x3 + x2y y > x 2 2. Calcolare ∫∫ T xy2 dx dy, dove T ` e il triangolo di vertici (−3, 0), (3, 0), (0, 3). 3. Calcolare ∫∫ Q (x + sin y) dx dy, dove Q = [−1, 1] × [−1, 1]. 4. Calcolare ∫∫ Q ( y2 sin(x − 1) + (1 − x)3 tan y ) dx dy, dove Q ` e il quadrato di vertici (1 , 0), (2, 1), (1, 2), (0, 1). 5. Calcolare ∫∫ T y sin(x−y) dx dy, dove T ` e il triangolo di vertici (−1, 0), (1, 0), (0, 1). 6. Calcolare ∫ 1 0 (∫ 1 √x ey3 dy ) dx 7. Calcolare ∫ 1 0 (∫ 1 x2 x3 sin y3 dy ) dx 8. Cambiare l’ordine di integrazione nel seguente integrale iterato:∫ 1 −1 (∫ √ 2−x2 |x| f (x, y) dy ) dx 9. Calcolare ∫∫ D x(1−y) dx dy, dove D = {(x, y) ∈R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 +y2 ≤ 1, y ≤ x}. 10. Determinare il baricentro dell’insieme D = {(x, y) ∈R2 : x2 + y2 ≤ 2, y ≥ |x|}. 11. Calcolare ∫∫ D |y − x|dx dy, dove D = {(x, y) ∈R2 : −1 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1}. 12. Calcolare ∫∫ D xy dx dy, dove D = {(x, y) ∈R2 : y < √ 3x, xy ≤ 1, y > x }. 1 13. Calcolare il volume del tetraedro di vertici (1 , 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). 14. Calcolare ∫∫ D √ 1 − x2 − y2 dx dy, dove D = {(x, y) ∈R2 : x2 + y2 ≤ 1}. 15. Calcolare il volume del solido che giace sotto il paraboloide z = x2 + y2 e sopra la regione delimitata dalle curve y = x2 e x = y2. 16. Calcolare ∫∫ D (x2 tan x+y3+4) dx dy, dove D = {(x, y) ∈R2 : x2+y2 ≤ 2}. 17. Con opportuni ragionamenti, dimostrare che ` e nullo l’integrale doppio∫∫ D sin(y − 1)3 cos(x + (y − 1)2) dx dy, dove D ` e il quadrato di vertici (1 2 , 1), (1, 1 2 ), ( 3 2 , 1), (1 , 3 2 ). 18. Calcolare ∫∫ D (x − 3 √ 3y) dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 3, y + |x| ≥0}. 19. Calcolare ∫∫ D ( cos(x2 + y2) + x2y5 ) dx dy, dove D = {(x, y) ∈R2 : x > 0, x2 + y2 ≤ π 2 }. 20. Calcolare ∫∫ D…