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&_, Esercizio 1 (Intervallo (0, r), Modo Singolo) Determina la soluzione u = u(x, t) per il seguente problema, con diffusivita k = 1: Ut — Ure = 0 z €(0,7),t>0 ux(0,t) = use(7,t) =0 t>0 u(x,0) = cos(3x) x € (0,7) # Esercizio 2 (Intervallo (0, 1), Combinazione di Modi) Determina la soluzione u = u(x, t) per il seguente problema, con diffusivita k = 3 (come in H4.pdf k=2): (u — 3uzz = 0 x € (0,1),t>0 uz,(0,t) = uz(1,t) =0 t>0 u(z,0) = 5cos(2rz) — cos(5rz) z € (0,1) . Esercizio 3 (Semplificazione con Identità Trigonometrica) Determina la soluzione u = u(x, t) per il seguente problema, con diffusivita k = 1/2 sull'intervallo (0,1): Wt — Ure = 0 z €(0,1),t>0 uz(0,t) =uz(1,t)=0 t>0 u(«,0)=1— 2sin?(ma) a € (0,1) [x Esercizio 4 (Costante Stazionaria + Modo) Determina la soluzione u = u(z, t) per il seguente problema, con diffusività k = 1 sull'intervallo (0, r):
ÎN Esercizio 4 (Costante Stazionaria + Modo) Determina la soluzione u = ula, t) per il seguente problema, con diffusività k = 1 sull'intervallo (0,7): UW — Ure = 0 x €(0,7),t>0 uz(0,t) = uz(7,t) =0 t>0 u(x,0) = 7+2cos(4xz) z € (0,7) „/ Esercizio 5 (Dato Iniziale Richiede Integrazione) Determina la soluzione u = u(x, t) per il seguente problema, con diffusività k = 1 sull'intervallo (0, 1), dove il dato iniziale è f(x) = z: Ut — Ure = 0 «e(0,1),t>0 Uz(0,t)=uz(1,t)=0 t>0 u(z,0) = z e (0,1) Soluzioni Dettagliate La soluzione generale per il problema di Neumann omogeneo u, (0,ż) = ux(L,t) = 0 è data da una serie di Fourier in coseni: © 00 u(a,t) = hi + Van cos (7) e ME) n=1 dove a,, sono i coefficienti di Fourier della condizione iniziale f(x) = u(z, 0), dati da: àn = 2/1 cos CE) dz
17:53 Mer 10 dic eee TA 380% m) fal < > = gemini.google.com © M + © Ma Volantino] N Carrello Login al sito... o Come dovre... © Crea eserciz... © Google Gemini = Gemini Esercizi sul... v @ ic) IN Esercizio 4 (Costante Stazionaria + Modo) Determina la soluzione u = (x, t) per il seguente problema, con diffusivita k = 1 sull'intervallo (0, 7): Uy Uzz = 0 x €(0,7),t>0 uz(0,t) = uz(7,t) =0 t>0 u(z,0) = 7 + 2cos(4z) € (0,7) „/ Esercizio 5 (Dato Iniziale Richiede Integrazione) Determina la soluzione u = (x, t) per il seguente problema, con diffusivita k = 1 sull'intervallo (0, 1), dove il dato iniziale è f(x) = a: Ut — Ure = 0 x €(0,1),t>0 u,(0,t) =u,(1,t)=0 t>0 u(z,0) = 2 x € (0,1) Soluzioni Dettagliate La soluzione generale per il problema di Neumann omogeneo u,.(0,t) = u,(L,t) = 0 è data da una serie di Fourier in coseni: 2 00 u(a,t) = 5 + Van cos (7) e ME) n=l dove a, sono i coefficienti di Fourier della condizione iniziale f(x) = u(z, 0), dati da: 2 fh dy, = al f(x) cos (7) da Chiedi a Gemini o- + 5 Veloce v fe Gemini può fare errori, anche riguardo a persone, quindi verifica le sue risposte. La tua privacy e Gemini
#_ Soluzione Esercizio 1: f(x) = cos(3z) 1. Parametri: k = 1, L = m. 2. Coefficienti di Fourier: La condizione iniziale f(x) = cos(3x) è già una singola autofunzione (modo n = 3). . ag=l © an=0pern#3. . 5 = 0. 3. Soluzione: u(x,t) = az cos(3x)e E u(a,t) = cos(3x)e ™ # Soluzione Esercizio 2: f(x) = 5cos(2mz) — cos(5rz) 1. Parametri: k = 3, L = 1. 2. Coefficienti di Fourier: La condizione iniziale è già una combinazione di due modi in coseni: «Il termine 5 cos(27x) corrisponde a n = 2, quindi ay = 5. * Il termine — cos(57x) corrisponde a n = 5, quindi az = —1. e Ma 2 * ay = Opern # 2,5. 3. Soluzione: u(a,t) = a2 cos(2ma)e32")"t + as cos(5rz)e 38m)" —127% —TBat u(x,t) = 5 cos(2rz)e — cos(57x)e ,_ Soluzione Esercizio 3: f(x) = 1 — 2sin*(mrz) 1. Parametri: k = 1/2, L = 1.2. Coefficienti di Fourier (Semplificazione): Usiamo l'identità trigonometrica cos(2y) = 1 — 2sin*(y) cony= ra: ©
* Coefficienti a, (n > 1): 2 fl an = — J x cos(nmx)dx 1 Jo Integrando per parti (f udv = uv — | vdu con u = x, dv = cos(nrz)dz): ; 1 Da a, =2 [E sinter) | 7 2 f sin(nrz) dz 0 0 nT nn Il primo termine e zeroa rx = lex =0. 2 cos(nra)]! i 2 an=0- nr | centre) , = ai [cos(nrz)]ę = „272 (008(mr) — cos(0)) 2 n Gn = mat) - 1) * anènullo per n pari, e per n dispari: an = 162) = — a. 3. Soluzione: 4 2 u(a,t) = + = cos(nrz)e "7 t nżm n dispari Si _1 2 22 —(2k+1)'m't = Va 573 Cos((2k + 1)rz)e "2 £4 k+ yr
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