esame 1 settembre 2016

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 1 settembre 2016 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria: Enunciare e dimostrare la relazione che sussiste tra la norma L2(Rn) di una funzione e la norma L2(Rn) della sua trasformata di Fourier (Teorema di Plancherel). Esercizio 1. Si consideri la successione di funzioni definita da fn(x) = { nen(x−1) se x≤ 1 0 se x> 1. (i) Determinare il limite puntuale della successione {fn} su R. (ii) Per ogni p∈ [1,∞] calcolare limn→∞∥fn∥Lp(R). (iii) Determinare il limite nel senso delle distribuzioni di {fn}. Soluzione: (i) Il limite puntuale ` e 0 sex̸= 1 ed ` e +∞ se x = 1. (ii) Si ha ∥fn∥Lp(R) = n1−1/p p1/p ∀n∈ N, ∀p∈ [1,∞), ∥fn∥L∞(R) =n. Pertanto:∥fn∥L1(R) = 1 per ogni n mentre∥fn∥Lp(R)→ +∞ per ogni p> 1. (iii) Dopo un’integrazione per parti, per il Teorema di Lebesgue abbiamo che ∫ R fn(x)φ(x)dx =n ∫ 1 −∞ en(x−1)φ(x)dx =− ∫ 1 −∞ en(x−1)φ′(x)dx + [ en(x−1)φ(x) ]1 −∞ →φ(1) per ogni φ a supporto compatto in R. Pertanto, fn→δx=1 nel senso delle distribuzioni. Esercizio 2. Si consideri la funzione di variabile complessa f(z) = 1 4 +z2. (i) Trovare e classificare i punti singolari (al finito) di f e scrivere la serie di Laurent centrata in tali punti. (ii) Determinare il residuo di f…