esame del 28 giugno 2016

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 28 giugno 2016 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria: Spiegare cosa si intende per distribuzione, per distribuzione temperata, per conver- genza nel senso delle distribuzioni. Fornire un esempio di distribuzione che non ` e temperata. Esercizio 1. Calcolare la trasformata di Fourier della funzione u(x) = 2 cosx 1 +x2 . Soluzione: Riscrivendo u come u(x) = eix +e−ix 1 +x2 , e ricordando che F { 1 1 +x2 } =πe−|ξ|, per le propriet` a della trasformata di Fourier si ha F{u(x)} =F { eix· 1 1 +x2 } +F { e−ix· 1 1 +x2 } =πe−|ξ−1| +πe−|ξ+1|. Esercizio 2. Sia u la funzione definita q.o. da u(t) = 0 ∀t< 0, u (t) =et ∀t∈ (0, 1), u (t) =u(t− 1) ∀t> 1. (a) Disegnare il grafico di u sull’intervallo (−1, 3). (b) Dimostrare che u ` e Laplace trasformabile e determinare l’ascissa di convergenza. (c) Calcolare la trasformata di Laplace di u (si consiglia di scomporre l’integrale in una somma numerabile di integrali sugli intervalli (n,n + 1) con n intero). La soluzione trovata ` e analitica? Soluzione: (b)u ha supporto in [0,∞) ed ` e limitata, quindi Laplace-trasformabile; la sua ascissa di convergenza ` eλa(u) = 0. (c) Seguendo il suggerimento, troviamo L ( u(t),s ) = ∫ ∞ 0 e−stu(t)dt = ∞∑ n=0 ∫…