Esercitazione 13

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 16 04/05/2021 Argomenti: limiti di funzioni di più variabili reali, funzioni continue. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Alcune considerazioni utili per il calcolo di limiti di funzioni di più variabili reali 1. Un limite esiste se la funzione è continua e ben definita in un intorno del punto limite. Questi sono i limiti più semplici possibili! In particolare, essi coincidono con il valore della funzione nel punto limite. Ad esempio, lim (x,y)→(1,0) x +y + 4−y3 = 1 + 0 + 4− 03 = 5. 2. Un limite non esiste se esistono più “candidati limiti” diversi (perché se il limite esiste, allora è unico). Tipicamente, un modo semplice di accorgersi di questa eventualità è provare ad avvicinarsi al punto limite lungo una famiglia di curve note, come rette o parabole, dipendente da un parametro. Attenzione! Le curve devono passare dal punto limite ed ammettere il punto limite come punto interno. Ad esempio, se il punto limite è(1, 1), la famiglia di rette(t,mt ) non è una scelta percorribile. Si deve scegliere invece, ad esempio, (t + 1,mt + 1), cosicché quandot = 0 le rette passi da (1, 1). Il fatto che le rette passino per(1, 1) quando t = 0 è una scelta comoda e semplice (e dunque consigliata), ma arbitraria (ricordando la teoria delle curve, è una parametrizzazione arbitraria). Si noti però che la parametrizzazione è definita in un intorno dit = 0, cosicché il punto(1, 1) è interno alla curva. Se il limite risultante dipende dal parametro scelto (ad esempiom nell’esempio sopra riportato), allora il limite non esiste. (esempi: si veda sotto, Esercizio 1.2 e 1.3 per rette e parabole). 3. Molti limiti possono essere semplificati da un cambio di coordinate. In generale è possibile…