Exams collection 2015 16

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Analisi Geometria 2 - 2 Maggio 2016 Svolgimento a cura di R.Notari. Versione 1 Tutte le risposte devono essere motivate ed i calcoli riport ati. Esercizi Esercizio 1. Sia F : R3 → R3 l’applicazione lineare che sui vettori e1, e2, e3 della base canonica di R3 ` e definita da F (e1) = e1 + e2 + 2e3 , F (e2) = − 2e3 , F (e3) = e3 . (a) Scrivere la matrice A = MC,C(F ) che rappresenta F rispetto alla base canonica C (fissata sia nel domino sia nel codominio). (b) Determinare una base per il nucleo ker( F ) di F e una base per l’immagine Im( F ) di F . Studiare l’iniettivit` a, la suriettivit` a e l’invertibilit` a di F . Calcolare la dimensione del sottospazio di R3 che ` e l’intersezione tra il nucleo di F e l’immagine di F . (c) Stabilire se la matrice A ` e diagonalizzabile. In caso affermativo, determinare una matrice diagonale D e una matrice invertibile H tali che A = HDH − 1. Soluzione. Le immagini dei vettori di C possono essere facilmente scritte in componenti rispetto a C ed abbiamo [F (e1)]C =   1 1 2   [F (e2)]C =   0 0 − 2   [F (e3)]C =   0 0 1   . Quindi, A = MC,C (F ) =   1 0 0 1 0 0 2 − 2 1   . Posto X = [v]C, i vettori del nucleo sono tutti e soli quelli le cui componenti X risolvono il sistema lineare omogeneo AX = 0. Riducendo la matrice per righe con le operazioni elementari R2 − R1 → R2, R 3 − 2R1 → R3, otteniamo la matrice   1 0 0 0 0 0 0 − 2 1 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 0 0 0   . Quindi le soluzioni del sistema AX = 0 sono X =   0 t 2t   , t ∈ R. Abbiamo allora che ( e2 + 2e3) ` e una base del nucleo, e la dimensione del nucleo ` e 1. Ne consegue che F non ` e iniettiva. Il teorema del Rango fornisce dim(Im( F )) = 2, e visto che F (e2), F (e3) sono linear- mente dipendenti, una base dell’ immagine di F ` e (F (e1), F (e2)). Essendo Im( F ) ̸=…