Extremes maximums and minimums

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Estremi 1. Determinare gli estremi relativi di f (x, y) = ex(x − 1)(y − 1) + (y − 1)2. 2. Determinare gli estremi relativi di f (x, y) = y2 4 − (y + 1) cos x. 3. Determinare gli estremi relativi di f (x, y) = xye− x2+y2 2 . 4. Sia f (x, y) = xy(x − 1)2. a) Determinare gli estremi relativi di f ; b) determinare gli estremi assoluti di f in D = {(x, y) ∈R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x+y ≤ 1}. 5. Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume v asse- gnato, che abbia la superficie minima. 6. Sia f (x, y) = e2x−x2−y2 . a) Determinare gli estremi relativi liberi di f . b) Determinare gli estremi assoluti di f in D = {(x, y) ∈R2 : x2 + y2 ≤ 4}. 7. Per quali valori di λ ∈R la funzione f (x, y) = ex − λx + y2 ha massimo o minimo relativo? 8. Sia g ∈ C 2(R). Calcolare tutte le derivate parziali fino al secondo ordine della funzione f (x, y) = g(xy). Verificare che l’origine ` e un punto critico per f , qualunque sia g; trovare una condizione sufficiente su g affinch´ e l’origine sia un punto di sella. 9. Sia f (x, y) = 1√x2 − y2 . a) Determinare l’insieme di definizione D di f . b) Determinare le curve di livello di f . c) Scrivere l’equazione del piano tangente alla superficie grafico di f nel punto (1 , 0, 1). Qual ` e la direzione di massima crescita di f nel punto (1 , 0)? d) Mostrare che f non ha estremi locali. 10. Sia f (x, y) = x4 − x2y2. a) Trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo di f inR2. b) Dire se f ammette massimo e minimo assoluti inR2. 11. Determinare gli eventuali punti di massimo o minimo locale della funzione f (x, y) = x3 − xy2 + y4. 12. Determinare gli eventuali punti di massimo o minimo locale della funzione f (x, y) = x4 − 6x2y2 + y4. 1 13. Determinare gli eventuali punti di massimo o minimo locale della funzione f (x, y) = x4 + y4 − 2(x2 +…