Formula di Newton

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FORMULA DEL BINOMIO DI NEWTONPremessa∀n∈N definiamo fattoriale di n il numeron!=1⋅2⋅3(n−1)⋅nAssumeremo altresì, convenzionalmente, 0!=1.Diremo inoltre coefficiente binomiale il numeronk():=n!k!(n−k)!questo per ogni k∈N tale che 0≤k≤n.TEOREMAa+b()n=nk()an−kbkk=0n∑per ogni a,b∈R.DIMOSTRAZIONELa formula è senz’altro vera (con le convenzioni notazionali adottate) pern=0 e n=1, come subito si verifica senza difficoltà.Supponiamo sia vera per un generico n=m∈N (ipotesi di induzione); avremo:a+b()m+1=a+b()a+b()m=a+b()mk()am−kbkk=0m∑=mk()am+1−kbkk=0m∑+mk()am−kbk+1k=0m∑=am+1+mk()am+1−kbkk=1m∑+mk()am−kbk+1k=0m−1∑+bm+1Al fine di rendere facilmente riconoscibili i monomi simili delle ultime due sommatorieconviene assumere j=k nella prima e j=k+1 nella seconda. Così facendo avremo infattia+b()m+1=am+1+mj()am+1−jbjj=1m∑+mj−1()am+1−jbjj=1m∑+bm+1=am+1+mj()+mj−1()⎡⎣⎢⎤⎦⎥am+1−jbjj=1m∑+bm+1=am+1+m!j!(m−j)!+m!(j−1)!(m−j+1)!⎡⎣⎢⎤⎦⎥am+1−jbjj=1m∑+bm+1=am+1+m!(m−j+1)+jj!(m−j+1)!am+1−jbjj=1m∑+bm+1=am+1+(m+1)!j!(m−j+1)!am+1−jbjj=1m∑+bm+1=m+1j()am−kbkj=0m+1∑In altri termini la formula di Newton vale per n=m+1.Conclusione: essa vale con ogni esponente n∈N. NUMERO DEI SOTTOINSIEMI DI UN INSIEME FINITOTEOREMASe A è un insieme finito qualsiasi e P(A) è l’insieme dei suoi sottoinsiemi(propri e non). Posto #(A)=n avremo #(P(A))=2n.DIMOSTRAZIONE 1Sia n=0; in tal caso A=∅ quindi l’unico suo sottoinsieme è ∅ stesso.Si rammenti a questo proposito che ∅⊆B per qualsiasi insieme B. In effetti ∅⊆B è falsosolo se esiste un oggetto x∈∅ non appartenente a B, cosa questa senz’altro falsa, essendo∅ privo di elementi.Conclusione: #(P(∅))=1=20; l’enunciato è vero per n=0.Supponiamo ora che esso sia vero per n=m>0 (ipotesi di induzione).Se #(A)=m+1 fissiamo un x∈A.Posto ′A=A−{x} abbiamo #(′A)=m.È evidente che dato…