Fourier series

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Serie di Fourier 1. Sia f (x) = −2 + 3 sin 7x − cos x + 2 sin x. Indicare i coefficienti di Fourier an, bn di f e l’espressione dell’n-esima armonia (termine generale della serie di Fourier). 2. Trovare i valori di a0 e b1 nello sviluppo in serie di Fourier della funzione y = 1 + x2 nell’intervallo (−π, π). 3. Trovare i valori dia0, a1, b1, b2 nello sviluppo in serie di Fourier della funzione y = sin 3 x nell’intervallo (−π, π). 4. Sia f la funzione dispari periodica di periodo 2 π tale che f (x) =    − log(1 + x) 0 ≤ x ≤ π 2 0 π 2 < x ≤ π a) Tracciare il grafico di f nell’intervallo (−4π, 4π). b) Scrivere, senza calco- larli, l’espressione dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier di f . c) Dire in quali punti dell’intervallo [0 , 2π] la serie di Fourier di f converge a f (x). 5. Sia f la funzione pari periodica di periodo 2 π tale che f (x) = x, 0 < x ≤ π. a) Tracciare il grafico di f nell’intervallo [ −2π, 2π]. b) Calcolare i seguenti coefficienti di Fourier di f : a0, a1, a2 e tutti i coefficienti bn. 6. Sia f la funzione periodica di periodo 2 π tale che f (x) = x se x ∈ (−π, π). a) Tracciare il grafico di f nell’intervallo (−2π, 2π). b) Calcolare i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier di f . c) Dire in quali punti dell’intervallo [0, 2π] la serie di Fourier di f converge a f (x). d) Calcolare la somma della serie in x = π, x = 0, x = 2 3 π. 7. Scrivere la serie di Fourier associata alla funzione pari, 2 π-periodica, definita in [0 , π] da f (x) =    1 0 ≤ x ≤ π 2 −1 π 2 < x ≤ π Dimostrare che +∞∑ k=0 (−1)k 1 2k + 1 = π 4 . 1 8. Scrivere la serie di Fourier associata alla funzione pari, 2 π-periodica, definita in [ −π, π] da f (x) = x2. Dimostrare che +∞∑ n=1 1 n2 = π2 6 . 9. Scrivere la serie di Fourier associata alla funzione di periodo 6,…