FSSB 2024 01 15SOL

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F ondamenti di statistica e segnali biomedici [1] (allievi Bio) Pro¤ . Sangalli, V erri, Zanella Prova scritta del 15/1/2024 Cognome Nome Matricola o Codice Persona N. Questo testo va consegnato insieme ai fogli con le soluzioni. Su tutti i fogli che consegnerà, lo studente indichi il proprio cognome, nome e numero di matricola. Nelle soluzioni non basta scrivere i risultati nali: riportare i passaggi principali e fornire adeguate spiegazioni. Scrivere le soluzioni con calligra a leggibile: nella valutazione complessiva dell’ elaborato si terrà conto anche dell’ ordine. T empo: 1h 30min 1. Si stima che la metà di tutte le email inviate giornalmente siano spam. Supponiamo che ogni giorno, se una email è di spam, un software di ltraggio antispam sia in grado di identi carla correttamente nel 99% dei casi, e che invece, se una email non è spam, il software fallisca (cioè la identi ca come spam) nel 5% dei casi. (a) Qual è la probabilità dell’ eventoA = “il software identi ca una email come spam” ? (b) Qual è la probabilità che una email non sia davvero spam se il software la identi ca come spam? SOLUZIONE Dati: S = “una email è spam” ,A = “il software identi ca una email come spam” ;P (S) = 0:50; P(AjS) = 0:99; P AjS
= 0:05. (a) F ormula delle probabilità totali: P (A) = P (AjS)P (S)+P AjS
P S
= 0:990:50+0:050:50 = 13 25 = 52% (b) F ormula di Bayes: P SjA
= P AjS
P S
P (A) = 0:05 0:50 0:52 = 5 104' 4:81% 2. Siano X e 1 X le lunghezze dei segmenti ottenuti dividendo a caso un segmento di lunghezza unitaria, e sia Y l’ area del rettangolo i cui lati sono lunghi X e 1 X. (a) Quale distribuzione notevole segue la variabile X? (b) Calcolare il valore atteso di Y . (c) Calcolare la varianza di Y . SOLUZIONE 1 (a) XU (0; 1) (b) Si ha Y = X (1 X) = X X 2. Quindi,…