Integrali curvilinei di prima specie

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ESERCIZI SUGLI INTEGRALI CURVILINEI DI 1a SPECIE1°]Lunghezza di un tratto di curva di equazione y=lgx per 1≤x≤3Assumiamo γ:x(t)=ty(t)=lgt⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪; r(t)=(t,lgt)⇒r(t)=1+1t2≠0 ∀t; Λ(γ)=1+1t2dt13∫.Poniamo (cambiamento di variabile) =1+t2 così che 2=1+t2.Differenziando, d=tdt pertanto dt=td, dal che si trae 1+1t2tdt=2t2d=22−1d dunqueΛ(γ)=1+1t2dt13∫=1+12(−1)−12(+1)⎡⎣⎢⎤⎦⎥d22∫. Conclusione: Λ(γ)=2−2+12lg−1+1⎡⎣⎢⎤⎦⎥222°]Lunghezza dell’arco di cardioide.Sia C una circonferenza di raggio a e sia r una retta ruotanteattorno al punto O∈C; θ è l’angolo tra l’asse X ed r (vedi fig.).Posto A=O∩C l'insieme dei punti P,′P∈r tali chePA=′PAper0≤θ≤π definisce la curva chiamata cardioide. Essa è sim-metrica rispetto all’asse X.La sua equazione nelle coordinate polari (ρ,θ) è: ρ(θ)=2a(1+cosθ)L’equazione in coordinate cartesiane è γ:x(θ)=ρ(θ)cosθy(θ)=ρ(θ)sinθ⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪NB: Qui il parametro della curva è θ.drdθ2=ρ2+dρdθ()2=4a2sin2θ+4a2(1+cosθ)2=8a2(1+cosθ)=16a2cos2θ2;se ne trae che Λ(γ)=2drdθdθ0π∫=8acosθ2dθ0π∫=16asinθ2⎡⎣⎢⎤⎦⎥0π . Conclusione: Λ(γ)=16a3°]Momento d’inerzia rispetto all’asse Z di un’elica cilindrica formata da due spire e con densità lineare dimassa δ costante.L’equazione dell’elica è γ:x(t)=Rcosty(t)=Rsintz(t)=t⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪ con 0≤t≤4π. Il momento d’inerzia d’un corpo filiforme è, in generale,Ir=δd2γ∫ds ove δ(r(t))=densità di massa (nella fattispecie costante); d(r(t))=distanza dall'asse r (in questo casoZ). Se ne trae che IZ=δ(x2+y2)dsγ∫=δR2cos2t+R2sin2t[]R2cos2t+R2sin2t+1dt04π∫=δR2+1dt04π∫.Conclusione: IZ=4πδR2R2+14°]Lunghezza d’un arco di cicloide.In termini intuitivi una cicloide può essere definita come la traccia lasciata da un punto luminoso di unacirconferenza di raggio R quando questa rotola senza strisciare lungo una linea retta (vedi fig.).…