Lagrange multipliers

Pagina 1

Estremi vincolati, Teorema del Dini. 1. Da un cartone di 12 m2 si deve ricavare una scatola rettangolare senza coperchio. Trovare il massimo volume possibile della scatola. 2. Trovare gli estremi assoluti di f (x, y) = x2+2y2 sulla circonferenza x2+y2 = 1. 3. Trovare gli estremi assoluti di f (x, y) = x2 + 2y2 sul cerchio x2 + y2 ≤ 1. 4. Trovare gli estremi assoluti di f (x, y) = x2 −y2 sulla circonferenza x2 +y2 = 1. 5. Trovare gli estremi assoluti di f (x, y) = x2y sotto il voncolo x2 + 2y2 = 6. 6. Trovare gli estremi assoluti di f (x, y) = e−xy sotto il voncolo x2 + 4y2 ≤ 1. 7. Determinare il rettangolo con i lati paralleli agli assi, inscrivibile in un’ ellisse di equazione x2 a2 + y2 b2 = 1, a, b > 0, con area massima. 8. Determinare gli estremi assoluti della funzione f (x, y) = x + 8y − 2 sotto la condizione x4 + y4 = 2. 9. Determinare gli estremi assoluti della funzione f (x, y) = ( x−2y)2, vincolati alla curva x2 4 + y2 3 = 1. 10. Determinare gli estremi assoluti della funzione f (x, y) = x6 + 4 y6 sul cerchio C = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}. 11. Si verifichi che l’equazione x2 + y2 = 2 xy definisce implicitamente in un intorno di ogni x0 ∈R una e una sola funzione y = y(x). 12. Determinare i valori di x0 per i quali l’equazione x2 −y2 = 2x−2y definisce implicitamente in un intorno di x0 una e una sola funzione y = y(x). 13. Stabilire se l’equazione x + 2 y + x sin y definisce implicitamente in un intorno di x0 = 0 una e una sola funzione y = y(x). In caso affermativo calcolare y(0) e y′(0). 1 14. Stabilire se l’equazione xy + log(xy) − 1 = 0 definisce implicitamente in un intorno di x0 = 1 una e una sola funzione y = y(x). In caso affermativo, calcolare y(1) e y′(1). 15. Verificare che l’equazione x3 + y3 − 4x2y + 2 = 0 definisce implicitamente in un intorno di x0 = 1 una…