Limiti

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Riepiogo sull’algebra dei limiti di successioni (i)Se limn→∞an=α e limn→∞bn=β allora limn→∞an+bn()=α+β (ii)Se limn→∞an=α e limn→∞bn=β allora limn→∞anbn()=αβ (iii)Se limn→∞an=α e limn→∞bn=±∞ allora limn→∞an+bn()=±∞ (iv)Se limn→∞an=α≠0 allora limn→∞1an=1α (v)Se limn→∞an=α allora limn→∞λan=λα (ove λ∈R) (vi)Se limn→∞an=α≠0 e limn→∞bn=β allora limn→∞bnan=βαAlcuni limiti fondamentali di successioni (i)Se a>1 allora limn→+∞an=+∞ (ii)Se a<1 allora limn→+∞an=0 (iii)Se a=1 allora limn→+∞an=1 (iv)Se a>1 e limn→∞αn=+∞ allora limn→+∞aαn=+∞ (v)Se a>1 e limn→∞αn=+∞ allora limn→+∞a−αn=0 (vi)Se a>0 allora limn→+∞a1n=1 (vii)Se a>0 e limn→∞αn=0 allora limn→+∞aαn=1 (viii)Se a>0 e limn→∞αn=α allora limn→+∞aαn=aα (ix)Se limn→∞an=α e k∈N+ allora limn→∞ank=αk (x)Se an>0 e 0<an+1an<λ<1 definitivamente per n≥ν allora limn→+∞an=0(xi)Se α>0 allora limn→+∞nα=+∞(xii)Se α>0 allora limn→+∞n−α=0(xiii) limn→∞nn=1Limiti notevoli e “gerarchie” degli infinitiNella tabella che segue: xn{} è una successione tale che limn→∞xn=±∞ (solo +∞ in ˨ e ˩); an{} è una successione tale che limn→∞an=0 con an≠0 definitivamente per n→∞; a>1, α>0 e β>0;λ∈R;tn{} è una successione tale che limn→∞tn=0 con tn≠0 definitivamente per n→∞;sn{} è una successione tale che limn→∞sn=0 con sn≠0 definitivamente per n→∞. 2 ˝ ∃limn→∞1+1n⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟n=e˞ limn→∞1+1xn⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟xn=e˟ limn→∞1+αan()1an=eαˠlimn→∞lg(1+αan)an=α ˡ limn→∞αan−1an=lgαˢ limn→∞(1+an)α−1an=αˣ limn→∞sinanan=1ˤ limn→∞tganan=1 ˥ limn→∞arcsinsnsn=1˦ limn→∞arctgtntn=1˧ limn→∞1−cosanan2=12˨ limn→∞xnβaxn=0 ˩ limn→∞logaxn()αxnβ=0 TEOREMA: Data f:I→R con I⊆R* e il punto d’accumulazione a di I abbiamo: f(x)→ per x→a se esolo se ∀{xn}⊂I−{a} convergente ad a f(xn)→ per n→∞. Per I aperto possiamo anche dire: se e solose ∀{xn}⊂(I−{a})∩Q convergente ad a f(xn)→ per n→∞.Ciò…