Numeri complessi

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Capitolo 3 Numeri complessi L’introduzione dei numeri complessi avvenne storicamente per la necessit` a di dare un senso ad alcune operazioni algebriche impossibili nell’insieme dei numeri reali, come ad esempio la radice quadrata di un numero negativo. In particolare svolsero un ruolo importante nella loro genesi i tentativi di risolvere le equazioni algebriche. Consideriamo ad esempio l’equazione x2+px+q=0 conp, q2R.S e m p l i c i m a n i p o l a z i o n i a l g e b r i c h e p e r m e t t o n o d i s c r i v e r e ⇣ x+p 2 ⌘2 =p2 4 q da cui x+p 2=± r p2 4 q. ed infine x= p 2± r p2 4 q. Quanto scritto ha senso se il numerop2 4 qrisulta non negativo, poich´ e in tal caso ` e lecito estrarne la radice quadrata. Per dare un sensoformalealla formula anche nel caso in cuip2 4 qsia negativo, diremo che la sua radice quadrata ` e unnumero immaginarioel ai n d i c h e r e m oc o nu ns i m b o l o prettamente algebrico (senza dargli nessun significato vero e proprio di numero). Poich´ e p2 4 q=( 1) ✓ q p2 4 ◆ , indicandop 1c o ni ls i m b o l oi,s c r i v e r e m o r p2 4 q=i r q p2 4, 43 3.1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIET`A A.A. 2013-2014 cos ` ı che le soluzioni dell’equazione assumono la forma x=a±ib cona, b2R.I l s i m b o l oi` e detto unit` a immaginaria e soddisfa formalmente alla relazione i2= 1. La scritturaa+ibviene dettanumero complesso:a` e detta la sua parte reale,bla sua parte immaginaria, essendo il coe ciente del numero immaginario i.S eb=0s io t t i e n e un numero reale. Sea=0 ,s io t t i e n ei n v e c eu nn u m e r oi m m a g i n a r i op u r o . C o n s i d e r a n d o a+ibcome “espressione polinomiale” nella variabilei,s io t t i e n el as e g u e n t er e g o l af o r m a l e per la somma di due numeri complessi (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d). Con la…