Primaprovainitinere2013

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Prova intermedia Docente: 6 maggio 2013 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Si considerino: A =   1 −2 −1 1 2 −1 3 2 1 4 9 1   b =   0 1 k   . a) Per quali valori di k il sistema Ax = b ha soluzione? b) Determinare una base per ker( A). c) Quando una soluzione esiste, scrivere tutte le soluzioni del sistema nella forma soluzione particolare pi` u soluzioni del sistema omogeneo associato. d) Trovare una base per lo spazio colonna di A. Soluzione a) Riduciamo a scala la matrice completa del sistema:   1 −2 −1 1 0 2 −1 3 2 1 1 4 9 1 k   →   1 −2 −1 1 0 0 3 5 0 1 0 6 10 0 k   →   1 −2 −1 1 0 0 3 5 0 1 0 0 0 0 k − 2   Notiamo che r(A) = 2 mentre il rango della matrice completa vale 2 se k = 2 e 3 altrimenti. Quindi, in virt´ u del teorema di Rouch´ e-Capelli, il sistema ammette soluzioni se e solo se k = 2. b) Poniamo x = [ x1, x2, x3, x4]T . La matrice del sistema ha rango 2, le incognite sono 4, per cui il nucleo ha dimensione 1: si tratta del numero delle variabili libere, che in questo caso sono x3 e x4. Una base {v1, v2} del nucleo si ottiene assegnando alle variabili libere prima i valori x3 = 0, x4 = 1 e poi i valori x3 = 3, x4 = 0: si trova cos ` ı v1 = [−1, 0, 0, 1]T , v2 = [−7, −5, 3, 0]T . c) Supponiamo ora che k = 2 e troviamo la soluzione particolare v0 del sistema che corrisponde ai valori x3 = x4 = 0 delle variabili libere: questo significa risolvere il sistema { x1 − 2x2 = 0 3x2 = 1 La soluzione particolare v0 ` e quindi [2/3, 1/3, 0, 0]T . Le soluzioni del sistema sono…