Principali dimostrazioni 2013

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale Corso di Analisi e Geometria 2 Docente: Federico Lastaria Anno accademico 2013-2014 19 marzo 2014 Di tutti i teoremi (asteriscati o no) occorre conoscere gli enunciati con precisione. Dei teo- remi senza asterisco occorre conoscere anche la dimostrazione. Le dimostrazioni dei teoremi asteriscati sono facoltative. Indice 1 Principali teoremi dimostrati, o soltanto enunciati. 4 1.1 ∗ Lemma di Steinitz e teorema sulla stessa cardinalit` a delle basi . . . . . . . 4 1.2 Definizioni equivalenti di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Un’applicazione lineare ` e completamente definita dalle immagini dei vettori di una base del suo dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Applicazioni lineari Rn−→ Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Nucleo e immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Teorema di Rouch´ e-Capelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare . . . . . . . . . . . 10 1.8 ∗ Due spazi sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione . . . . . . . 11 1.9 Somme dirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.10 Teorema delle dimensioni, o teorema Nullit` a + Rango . . . . . . . . . . . . . 15 1.10.1 Prima dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.10.2 ∗ Seconda dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.11 Applicazioni lineari iniettive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.12 Applicazioni lineari tra spazi con la stessa dimensione . . . . . . . . . . . . . 18 1.13 L’applicazione composta di…