Principali dimostrazioni 2018

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Algebra delle matrici (8) 1- Unicità della matrice inversa Dimostrazione: Supponiamo B e C due inverse di A, allora e , quindi: Se una matrice è invertibile, allora possiede uesattamente una e una sola inversa. Il prodotto di due matrici invertibili è ancora una matrice invertibile. Dimostrazione: siano A e B due matrici invertibili. Affinché il prodotto AB sia invertibile, deve esistere X tale che . Supponiamo vero che , allora per l'associatività del prodotto si ha che Essendo A invertibile possiamo scrivere che: ossia . Essendo B invertibile, si ottiene quindi: ossia Questa matrice soddisfa e Quindi l'inversa di AB è 2. La matrice identità è invertibile dimostrazione: poiché , I è invertibile e coincide con la sua inversa 3. La matrice inversa di una matrice invertibile è anch'essa invertibile, inoltre l'inversa dell'inversa coincide con la matrice di partenza; dimostrazione: dalle identità segue che è invertibile e che 4. 2- Proprietà delle matrici invertibili 3- Proprietà fondamentale della matrice aggiunta Dimostrazione: Per la definizione di prodotto di matrici e per i teoremi di Laplace, l'elemento di posto (i,j) è dato da: Quindi In modo analogo si dimostra la seconda identità. Per ogni matrice valgono le identità: 4- Teorema di caratterizzazione delle matrici invertibili e forma della matrice inversa Dimostrazione: Supponiamo che A sia invertibile. Allora esiste una matrice B tale che Passando ai determinanti si ottiene che Per il teorema di Binet si ha che Supponiamo Dall'identità fondamentale della matrice aggiunta segue che: Da cui se A è invertibile la sua matrice inversa è: Una matrice A è invertibile se e soltanto se 5- Teorema di Rouchè-Capelli Dimostrazione: Riscriviamo il sistema come: Supponiamo che il sistema ammette almeno una soluzione. Allora…