prova scritta 15 febbraio 2017

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 15 febbraio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria: Enunciare (bene!) e dimostrare la formula che consente di trovare la trasformata di Laplace di una convoluzione. Esercizio 1. Per ogni k∈ N si consideri la funzione di variabile complessa fk(z) =zke1/z. (i) Determinare la serie di Laurent in z = 0 della funzione fk. (ii) Al variare di k, calcolare il residuo di fk all’infinito. (iii) Detta γ la circonferenza unitaria percorsa una volta in senso antiorario, determinare αk∈ C in modo tale che ∫ γ [fk(z) +αkfk+1(z)]dz = 0. Soluzione: (i) fk(z) = k∑ n=−∞ zn (k−n)!. (ii) Res(fk, 0) = 1 (k+1)! e quindi Res(fk,∞) =− 1 (k+1)!. (iii) Per il teorema dei residui ∫ γ [fk(z) +αkfk+1(z)]dz = 2πi Res(fk +αkfk+1, 0) = 2πi ( 1 (k + 1)! + αk (k + 2)! ) che vale 0 se e solo se αk =−k− 2. Esercizio 2. Per ogni x∈ (0, 1) sia δx la delta di Dirac centrata in x. Sia φ∈D (0, 1). a) Calcolare lim x→1 ⟨δx,φ⟩. b) Fissato x0∈ (0, 1), calcolare lim x→x0 ⟨δx,φ⟩−⟨ δx0,φ⟩ x−x0 . c) Sia {xi}∞ i=1 una successione di numeri razionali equidistribuiti e densi nell’intervallo (0 , 1). Calcolare lim n→∞ 1 n n∑ i=1 ⟨δxi,φ⟩. d) Determinare lim n→∞ 1 n n∑ i=1 δxi nel senso delle distribuzioni. Soluzione: a) lim x→1…