Prova scritta del 13 giugno 2019

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 13 giugno 2019 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 6 punti, la domanda di teoria vale 8 punti. Domanda di teoria. Definire cosa si intende per funzione Laplace-trasformabile e per trasformata di Laplace; enunciare e dimostrare il risultato sulla trasformata di una convoluzione. Esercizio 1. (2+2+2) Si consideri la funzionef (x) = χ(−1,1)(x)·|x| (χ funzione caratteristica). (i) Calcolare la trasformata di Fourier dif. (ii) Calcolare la derivata dif nel senso delle distribuzioni; è una distribuzione temperata? (iii) Calcolare la trasformata di Fourier dif′. Soluzione: (i) Per parità dif risulta ˆf (ξ) = ∫ 1 −1 |x|e−ixξdx = 2 ∫ 1 0 x cos(ξx) = 2 (sinξ ξ + cosξ− 1 ξ2 ) . (ii) Si haf′ =δx=−1−δx=1 + x |x|χ(−1,1)(x). Il supporto dif′ è [−1, 1] (compatto) e quindif′ è temperata. (iii) Si può ottenere sia direttamente, sia usando la regola della trasformata di una derivata: F (f′(x),ξ ) = eiξ−e−iξ + 2i cosξ− 1 ξ = 2i ( sinξ + cosξ− 1 ξ ) . Esercizio 2. (2+1+1+2) Si consideri la funzione di variabile complessa f (z) = z 1− cosz. a) Classificare tutte le singolarità dif e determinarne i residui. b) Dettaγ la circonferenza di rappresentazione parametricar(t) = iπ +eit (0≤t≤ 2π), calcolare ∫ γf. c) Considerandof come funzione di variabile reale,f =f (x)…