prova scritta del 23 luglio 2015

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 23 luglio 2015 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria: Enunciare e dimostrare il Teorema di Plancherel per la trasformata di Fourier. Esercizio 1. Si consideri la funzione definita da f(x) = x3 per x∈ (−1, 1) e prolungata a tutto R con periodicit` a 2: disegnare il grafico di f sull’intervallo (−2, 2). Determinare la serie di Fourier di f e il suo limite puntuale; stabilire poi se la serie converge in media quadratica e/o uniformemente. Soluzione: Serie di soli seni con coefficienti ∞∑ n=1 2(−1)n nπ ( 6 n2π2− 1 ) sin(nπx). La serie converge puntualmente a f(x) se x̸= 2k + 1 con k∈ ζ e converge a 0 se x = 2k + 1. Per la discontinuit` a dif la convergenza non pu` o essere uniforme. Dato che ∫ 1 −1f 2 <∞ si ha convergenza in media quadratica. Esercizio 2. Con tecniche di analisi complessa, calcolare v.p. ∫ R 1−e2πix x2 dx. Soluzione: Osserviamo che f(z) := 1−e2πiz z2 ∼− 2πi z per z→ 0 =⇒ Res(f, 0) =−2πi . Si integra poi f sugli intervalli (−R,−ε)∪ (ε,R ) e sulle “solite” semicirconferenze CR e Cε centrate nell’origine del piano complesso e percorse, rispettivamente, in senso antiorario e orario. Dato che all’interno non ci sono singolarit` a risulta ∫ −ε −R f + ∫ R ε f + ∫ CR f + ∫ Cε…