ProvaItinere 02maggio2017

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 02/05/2017 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 4 punti • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato 1. Quanti anagrammi distinti della parola AMICO ci sono? E della parola AMACA? Si scelga un anagramma di AMACA a caso. Supponendo che tutti gli anagrammi distinti siano equiprobabili, qual ` e la probabilit` a di scegliere una parola con tre A consecutive? Un anagramma ` e una parola formata dalle stesse lettere della parola originale, ma disposte in ordine diverso. 2. Siano A e B due eventi tali che Pr( A) = 0.5, Pr(B) = 0.4. Quanto devono valere Pr( A∩B), Pr(A|B), Pr(B|A), affinch´ e gli eventi siano indipendenti? Sia C un evento tale che C∩A =∅ e Pr(C) > 0. Gli eventiA e C sono indipendenti? Giustificare la risposta. 3. Su un canale di comunicazione possono essere trasmesse solo le sequenze di 4 bit ’0000’ e ’1111’, con la stessa probabilit` a. Il canale riporta correttamente al ricevitore ogni bit ’0’ con probabilit` ap0 = 0.8, e ogni bit ’1’ con probabilit` ap1 = 0.9, indipendentemente dagli altri bit. Sapendo di aver ricevuto la sequenza ’0111’, quali sono le probabilit` a di aver trasmesso ’0000’ e ’1111’? 4. Sia X una v.a. con fX(x) = γ x3 perx≥ 1, efX(x) = 0 altrimenti. Determinare il valore diγ. Determinare per quali naturali n = 1, 2,... , il momento E[Xn] esiste, ed eventualmente se ne calcoli il valore. 5. Sia X∼U [−2, 2], e si consideri la funzione g(x) = 1−x2 per−1≤ x≤ 1 e g(x) = 0 altrimenti. Sia Y = g(X). Determinare la funzione cumulativa di probabilit` a FY (y) = Pr( Y ≤ y) e rappresentarla graficamente. 6. Una…