ProvaItinere 04luglio2017 compitoA

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 04/07/2017 – Compito A • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, numero di matricola, e tipo di compito svolto su ogni foglio consegnato 1 Si hanno delle lampadine e la vita di ognuna ´ e distribuita esponenzialmente con parametro λ, indipen- dentemente da tutte le altre lampadine. Si accendono 10 lampadine contemporaneamente. Qual ´ e la probabilit´ a che la prima lampadina si sia spenta prima dell’istante di tempoµ? Qual ´ e la probabilit´ a che l’intervallo di tempo tra la prima rottura e la seconda rottura sia superiore a µ? Suggerimento: si interpretino gli istanti di rottura delle lampadine come istanti di arrivo di opportuni processi di Poisson. Fare attenzione al numero di lampadine accese. 2 Sia X un processo Gaussiano a media nulla, cio´ e con E[X(t)] = 0 per ogni t. Considerare il processo Y doveY (t) =X(t)−X(t− 1) + 1. Il processoY ´ e Gaussiano? DeterminareµY (t) = E[Y (t)],RXY (t1,t 2) = E[X(t1)Y (t2)], e RYY (t1,t 2) = E[Y (t1)Y (t2)]. Se necessario, esprimere il risultato in funzione di RXX . Si assuma ora che il processo X sia stazionario. Il processo Y ´ e stazionario? 3 Si consideri la catena di Markov tempo-discreta in figura. La catena si trova nello stato 1 al tempo 0. (a) Classificare gli stati in transienti e ricorrenti. (b) Mediamente dopo quante prove si esce dallo stato 1? (c) Qual ´ e la probabilit´ a di essere nello stato 3 dopo 4 prove? (d) Dopo un lunghissimo tempo, qual ´ e la probabilit´ a di essere nello stato 6? 1 2 3 4 5 6 0.3 0.2 1 0.3 0.8 1 0.4 1 0.5 0.5 4 Considerare la regioneR in figura…