ProvaItinere 21Aprile2021

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Informazione e stima – 21/04/2021 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. • Nominare il file da caricare con il proprio codice persona. • Indicare l’esercizio da escludere dal punteggio finale. 1 Tom e Jerry vengono invitati al matrimonio di Romeo e Giulietta. Al ricevimento, oltre agli sposi, ci saranno 70 invitati, tra cui Tom e Jerry. Gli invitati vengono disposti casualmente su 10 tavoli circolari, con 7 posti ciascuno. Qual ` e la probabilit` a che Tom e Jerry siedano vicini? 2 Si consideri un quiz con 10 domande con 4 opzioni ciascuna, di cui solo una corretta. Ad ogni risposta corretta si riceve 1 punto, mentre ad ogni risposta errata si perde 1 /3 di punto. Quali sono valore atteso e varianza del punteggio totale se si risponde a caso? 3 Si consideri la funzione g(x) = x/2 per x <0 e g(x) = x2 per x >0. Sia X∼U [−1, 1]. Determinare la legge di probabilit` a diY =g(X). Consiglio: controllare che la legge di Y integri a 1. 4 Sia Y = X +Z + 1, dove X∼U{− 1, 1} (v.a. discreta), Z∼N (0, 1), e X⊥ Z. Sapendo che Y = 1.5, calcolare la probabilit` a diX =−1. 5 Si consideri il quadrilatero di vertici (0 , 0), (1, 1), (1, 2), e (0 , 1). Le v.a. X e Y hanno una legge di probabilit` a congiunta uniforme dentro il quadrilatero, e zero altrove. Calcolare Cov[X,Y ]. 6 Siano Xn∼ Exp(1/n) e Yn∼ Exp(n), per n∈ N. Per ogni sequenza {Xn}n e{Yn}n, determinare se c’` e convergenza in probabilit` a e, se s` ı, a quale valore. Soluzioni Problema 1 Strada breve. Affinch´ e l’evento si verifichi Tom si pu` o sedere dove vuole, mentre Jerry pu` o scegliere 2 posti (quelli adiacenti a Tom) su 69 rimanenti. Dunque la…