prove scritte estate 2018

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 28 agosto 2018 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria: Definire (bene!) cosa si intende per funzione Laplace-trasformabile e dare la definizione di trasformata di Laplace. Fornire poi un esempio di funzione che non sia Laplace-trasformabile. Esercizio 1. a) Posto k∈ N+, classificare le singolarit` a di fk(z) = ekz zk , e calcolare rk = Res{fk,z = 0}; b) sia g(z) la funzione olomorfa il cui sviluppo in serie, centrato nell’origine, ` e g(z) = +∞∑ k=1 rkzk, stabilire la distanza dall’origine della singolarit` a dig pi` u prossima az = 0. Soluzione: a) Dallo sviluppo di fk: fk(z) = +∞∑ n=0 kn n!zn−k, abbiamo che z = 0 ` e un polo di ordine k, mentre il punto all’infinito ` e una singolarit` a essenziale; inoltre, poich´ e il coefficiente diz−1 si ottiene per n =k− 1, abbiamo rk = Res{fk,z = 0} = kk−1 (k− 1)! = kk k! ; b) il raggio di convergenza della serie di potenze +∞∑ k=1 kk k!zk ` e il reciproco di lim k→+∞ rk+1 rk =e, dunque la funzione g(z) ha una singolarit` a sulla cirfconferenza|z| = 1 e. Esercizio 2. a) Scrivere la serie di Fourier associata alla funzione dispari, 2 π-periodica, tale che f(x) =x(π−x); b) determinare le soluzioni u∈L∞(R) di u′′− 4u =f(x). Soluzione: a) I…