Questionari di autovalutazione

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æ ANALISI MA TEMA TICA 2 Esercizi 1 Cognome: Nome: Firma: ING. INFORMA TICA Professore E. Maluta Matricola • Una ed una sola delle quattro affermazioni ` e corretta. Indicarla con una croce. • `E consentita una sola correzione per ogni domanda: per annullare una risposta ritenuta errata racchiuderla in un cerchio. 1. Sia f : R 2 → R definita da f (x, y ) = x 2 + x 4 + 6 xy + 9 y 2 . Allora a d 2 f (0 , 0) ` e una forma quadratica definita positiva; b d 2 f (0 , 0) = 2( dx 2 + 9 dy 2 ); c d 2 f (0 , 0) = 2( dx 2 + 6 dxdy + 9 dy 2 ) ; d f ha un punto di sella in (0 , 0). 2. Sia f (x, y, z ) = e xy + z . Il differenziale di f in (1 , 0 , 0) relativo all’incremento ( dx, dy, dz ) ` e a ye xy dx + xe xy dy + dz ; b dy + dz ; c dx + dy + dz ; d dx + dz . 3. Sia f : R 2 → R definita da f (x, y ) = e sin(2 xy ) . La ∂f ∂x (x, y ) vale a 2 y cos(2 xy )e sin(2 xy ) ; b 2 ye sin(2 xy ) ; c e sin(2 xy ) ; d e 2 y cos(2 xy ) . 4. Sia f (x, y ) = e x + y 2 ∀ (x, y ) ∈ R 2 e sia v = ( √ 3 2 , 1 2 ). D v f (0 , 0) vale a √ 3 2 + 1 2 ; b 0; c √ 3 2 ; d √ 2 2 . 5. Sia f differenziabile in R 2 e sia ∇ f (x, y ) = (1+ ye xy , xe xy ). Il piano tangente al grafico di f nel punto (3 , 0 , f (3 , 0)) ha equazione a z = x +3 y ; b z − f (3 , 0) − (1+ e 3 )( x − 3) − (3 e 3 )y = 0; c z − f (3 , 0) − (1 + ye xy )( x − 3) − (xe xy )y = 0; d z − f (3 , 0) − x + 3 − 3 y = 0. 6. Sia f : R + × R 2 → R definita da f (x, y, z ) = x yz . La ∂f ∂z (x, y, z ) vale a y ·logx ·x yz ; b yz ·x yz − 1 ; c y ·x yz ; d x yz . 7. Sia f la funzione definita da f (x, y ) = xy |x + y |. Allora a f non pu` o essere differenziabile nei punti di {(x, y ) ∈ R 2 : x = − y }; b ´ e necessario studiare direttamente la continuit´ a di f nei punti di {(x, y ) ∈ R 2 : x = − y }; c f ∈ C 1 (R 2 ); d ´ e necessario studiare direttamente…