QUINTO APPELLO TLC 05 02 21

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Segnali per le comunicazioni – Appello del 5/2/2021 Esercizio 1 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) =ቂୱ୧୬(ଶగ௧) గ௧ ቃ ଶ ∗ୱ୧୬(଺గ௧) గ௧ dove ∗ indica la convoluzione. A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓) e se ne tracci il grafico. B) Si campioni 𝑥(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 3 ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. Si tracci il grafico della trasformata di Fourier 𝑋෨(𝑓) del segnale discreto e quella del segnale tempo continuo ricostruito 𝑋ோ(𝑓) . C) (facoltativo) Quanto vale l’energia del segnale ricostruito? Soluzione Esercizio 1 del 5/2/2021 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) =ቂୱ୧୬(ଶగ௧) గ௧ ቃ ଶ ∗ୱ୧୬(଺గ ) గ௧ dove ∗ indica la convoluzione. A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓) e se ne tracci il grafico. 𝑋(𝑓) =൤𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓 2൰∗𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓 2൰൨∙𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓 6൰ Il grafico è dato da un triangolo centrato nell’origine, di altezza 2 e banda compresa tra -2 e 2, moltiplicato per un rettangolo di altezza unitaria e banda compresa tra -3 e 3. Da qui si vede che l’effetto della moltiplicazione per il rettangolo è nullo e che la trasformata è costituita dal solo triangolo di altezza 2 e banda compresa tra -2 e 2: 𝑋(𝑓)=൤𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓 2൰∗𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓 2൰൨= 2 ∙𝑡𝑟𝑖൬𝑓 2൰ D) Si campioni 𝑥(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 3 ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. Si tracci il grafico della trasformata di Fourier 𝑋෨(𝑓) del segnale discreto e quella del segnale tempo continuo 𝑋ோ(𝑓) . 𝑋෨(𝑓) = 3∑ 2 ∙𝑡𝑟𝑖ቀ௙ିଷ௞ ଶ ቁஶ௞ୀିஶ il cui grafico è: 𝑋ோ(𝑓) =𝑋෨(𝑓)∙ ଵ ଷ 𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ௙ ଷቁ il cui grafico è: 𝐸𝑥ோ =ଵ଻ ଷ 0611.5-1-1.50211.5-1-1.5 Segnali per le comunicazioni – Appello del 5/2/2021 Esercizio 2 Sia dato il processo casuale stazionario tempo discreto 𝑥௡ con densità di probabilità delle ampiezze uniforme e valor medio unitario. Sapendo che la densità spettrale di potenza del processo ha la seguente espressione: 𝑆௫(𝜑)=2…