Raccolta dimostrazioni Primo Parziale

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SeFnon dipendeesplicitamentedat (ma soloattraversoy,si,- - . . etc. )detta. AUTONOMA D'ora inpoiFORMANORMALE- Def. SidiceSOLUZIONE(o INTEGRALE) dell'equazione①una funzione4=4Lt) def. e derivabilen- volteinIEIR +- " (t,4Lt),Ùit), . . _ ,µ'"- ")(eDEIR"") echese sisostituisceilCt)ayin④siottieneidentitàper#EI cioè è"(t)=f-(t,ilCt), . . . . ,4"" )tc-I. DEF. INTEGRALEGENERALE- Insiemedi tuttelesoluzioni_ Ingeneralefamigliadipendenteda 1 + parametri. TEOREMA (Esistenzaeunicitàlocale) ig(f)= f-(t,y) {y(to)= y. tc-I Siaf:D→ IR, Dc-Èaperto- Sa: i)fècontinuainD ii)fdiclasseE' inD,rispettoady. allorapert(to,yo)ED] Ig=[to- 5,to-15]in cuièdef. soluzione y= 4(t)delproblemadiCauchy, unica nelsenso che ognialtra soluzione=conynell'intersezione degliintervalli. Sevalesoloi)c'èesistenzama non necessariamenteunicità. TEOREMADISTRUTTURA(dell' integrigen. )di ODEdelI°ordinelineare) iy-altly-b.lt) Cec) Equazioneomogeneaassociata E-(t)= a(f)Z (eo) l'integralegeneraledell'equazioneCec)è datodall'integraledell'equazioneomogeneaassociata(Eo)+una soluzione(particolare) dell'equazionecompleta(Ec ) DIM. Fissiamouna soluzione54)dell'equazioneCEC), cioèt.c.yltl-actsjk-l-f.lt) i)presauna soluzione2-(f)dell'equazione omogenea(Eo)cioét. c. ÈA)= alt)2-It) sommandoledueequazioniotteniamo PROBLEMADI CAUCHY Ùg= alt)y+f-It) (PC){y(to)= Io scegliamoAlt)t. c. Alto)- u. Allora t ya)= e "" {y,+|fcs)e-A'"ds}ts TEOREMA- (7!soluzione PROBLEMADICAUCHY perODEI° ORDINELINEARE) siamo a edffunzionicontinuainIEIR, tuEI_ Alloraty. C-Rilpb. diCauchy(Pc) ammetteuna euna solasoluzione yeETI)datadalleformulesopra.