Raccolta Esercizi TDE 2017

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Esame di Analisi e Geometria 2 - 5 Maggio 2017 Versione 1 Esercizio 1. Si consideri la seguente matrice M, dove α ` e un parametro reale: M =   4 2 0 2 1 α 0 0 α + 5   . (1) Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare la cui matrice rappresentativa, rispetto alla base canonica, ` e M. (a) Determinare, al variare di α , una base per il nucleo ker f ed una base per l’immagine Im f di f . (b) Determinare i valori del parametro α per cui la matrice M risulti non diago- nalizzabile. (c) Determinare i valori di α per cui la matrice M sia ortogonalmente diagonaliz- zabile. Per tali valori di α , determinare una base ortonormale di R3 rispetto alla quale la matrice rappresentativa di f sia diagonale. (2) Indicando con R[x]2 lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali in x di grado minore o uguale a 2, sia g : R[x]2 → R[x]2 l’applicazione lineare tale che MB,B (g) = M con B = (x2, x, 1) base di R[x]2. (a) Calcolare g(x2 + x − 2). (b) Stabilire se g ` e iniettiva, suriettiva, invertibile. Soluzione. (1a) Riduciamo la matrice per calcolarne il rango. Se α ̸= 0, effettuiamo le operazioni elementari R2 → R2 − 1 2R1, R 3 → R3 − α +5 α R2 ed otteniamo la matrice ridotta per righe   4 2 0 0 0 α 0 0 0   . Se invece α = 0, effettuiamo l’operazione elementare R2 → R2 − 1 2R1 ed otteniamo la matrice ridotta per righe   4 2 0 0 0 0 0 0 5   . In entrambi i casi, la matrice ha rango 2 e quindi r(M) = 2 per ogni α ∈ R. Quindi, dim(Im(f )) = 2 per ogni α ∈ R e, visto che gli elementi speciali sono sulla seconda e terza colonna, una base dell’immagine ` e data dai vettori le cui component i sono la seconda e terza colonna. Usando la base canonica, una base dell’immagine ` e B = ((2, 1, 0), (0, α, α + 5)), al variare di α . Il Teorema del Rango permette di affermare che dim(ker( f…