Scheme

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Equazioni lineari a coefficienti costanti: sono equazioni del tipo: . Sfruttiamo il principio di sovrapposizione per scrivere “soluzione generale = soluzione generale parte omogenea + soluzione particolare equazione completa”. Si studia quindi l’equazione caratteristica: e - ad ogni sua radice reale si associa dell’equazione differenziale; - ad ogni coppia di soluzioni complesse e coniugate dell’equazione caratteristica associamo Principio di sovrapposizione (vale per la linearità): se u è soluzione di allora ogni combinazione lineare di e risolve . Dimostrazione: Conseguenza: se A ha 2 autovalori reali e distinti λ1, λ2 (con auto vettori rispettivi , ) posso scrivere la soluzione generale del sistema 2.2: Sistemi 2.2: del tipo: . Distinguiamo veri casi: -  autovalori reali distinti, stesso segno  integr. gen: - autovalori reali, segno opposto  integrale generale: - “degenere”: 1 autovalore è nullo -  autovalori complessi e coniugati  -  autovalori reali coincidenti  distinguiamo 2 sottocasi: - regolare (se molteplicità algebrica e molteplicità geometrica coincidono); - non regolare [Molteplicità algebrica k: è K volte soluzione dell’equazione caratteristica ] [Molteplicità geometrica: numero di parametri dai quali dipende la soluzione dell’equazione: ] Teorema: un autovalore semplice è sempre regolare [moltepl geom moltepl algeb] Teorema: se ogni autovalore di A è regolare  A è diagonalizzabile, ovvero abbiamo n autovettori l. i. accostati costituiscono S (invertibile perché fatta da colonne l.i.) con la proprietà che: (diagonale) Matrice esponenziale: partendo da un sistema 2.2 introduco una matrice esponenziale con la proprietà: ovvero la matrice introdotta deve risolvere il sistema: . La soluzione generale del sistema sarà data da: [Polinomio di Taylor con…