Simulazione seconda prova 2009

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Algebra lineare e geometria 2009. Simulazione seconda prova scritta. Soluzioni venerd ` ı 26 in T.2.3 h. 9.45. 1. Sia A la matrice: A = [0 1 1 1 1 0 ] • Determinare autovalori e autospazi di ATA e di AAT • Determinare la scomposizione in valori singolari della matrice A. Scrivere una base ortonormale dei quattro spazi fondamentali di A: nucleo, spazio riga, spazio colonna, e nucleo della matrice trasposta. Scrivere i valori singolari di A. • Determinare la matrice pseudoinversa A+, e le matrici delle proiezioni ortogonali diR2 sullo spazio colonna di A e di R3 sullo spazio riga di A. • Determinare la decomposizione in valori singolari di AT. 2. Sia A una matrice quadrata di ordine n, e si supponga che esista un vettore v ∈Rn tale che Av ̸= 0 e A2v = 0 (questo significa che il nucleo di A2 contiene propriamente il nucleo di A). Mostrare che A non ` e diagonalizzabile.