Soluzionedellaprovadel5febbraio2014

Pagina 1

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini 5 F ebbraio 2014 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate 1. Si considerino la matrice A = 2 4 1 0 3 1 1 2 2 1 1 3 5 ; e il vettore b = [ 2 2 3] T (a) Veri care che il sistema Ax = b non ammette soluzione. (b) Determinare le soluzioni ai minimi quadrati del sistema Ax = b; (c) Determinare la proiezione ortogonale p del termine noto b sullo spazio colonna di A, e veri care che b p  e perpendicolare alle colonne di A. Soluzione. (a) Riduciamo a scala la matrice completa Ajb: 2 4 1 0 3 2 1 1 2 2 2 1 1 3 3 5 ! 2 4 1 0 3 2 0 1 5 4 0 1 5 7 3 5 ! 2 4 1 0 3 2 0 1 5 4 0 0 0 3 3 5 : Si deduce che r(A) = 2 mentre r(Ajb) = 3, quindi, per il teorema di Rouch e-Capelli, il sistema Ax = b non ammette soluzione. (b) Per determinare le soluzioni ai minimi quadrati consideriamo il sistema delle equa- zioni normali, ovvero AT Ax = AT x. Con semplici conti si trova AT A = 2 4 6 3 3 3 2 1 3 1 14 3 5 AT b = [6 5 7]T : Con il metodo di eliminazione di Gauss si ottiene 2 4 6 3 3 6 3 2 1 5 3 1 14 7 3 5 ! 2 4 6 3 3 6 0 1 5 4 0 5 25 20 3 5 ! 2 4 6 3 3 6 0 1 5 4 0 0 0 0 3 5 : IL sistema ammette quindi 11 soluzioni della forma v = [ 1 3; 4 + 5;  ]T ,  2 R. (c) La proiezione ortogonale di b su Col( A)  ep = Av = [ 1 3 2] T da cui b p = [ 1; 1; 1]T . Semplici conti mostrano che AT (b p) = 0 da cui si deduce che b p 2 ker(AT ) = Col( A)?. 2. Sia V = R[x] lo spazio dei polinomi reali nell'indeterminata x di grado al massimo 3. Sia U il sottoinsieme di V formato dai polinomi p(x) tali che p(1) = 0 e p(0) = 0. Sia W il…