Soluzioneesame10luglio2015

Pagina 1

1 Seconda prova in itinere Logica e Algebra 10 luglio 2015 Esercizio 1 Si considerino le seguenti formule della logica del primo ordine: a)        ayxfAayAaxAyx ,,,, 2 1 2 1 2 1 2 1  b)   bzxfAz ,,2 1 2 1 c)        ayxfAayAaxAyx ,,,, 2 1 2 1 2 1 2 1    bzxfAz ,,2 1 2 1 . Si considerino ora le seguenti interpretazioni: 1) I 1 nella quale il dominio è Z 7 , 2 1A è da interpretarsi come l’uguaglianza, 2 1f come l’operazione di moltiplicazione, la costante a come la classe dello 0 e la costante b come la classe di 1; 2) I 2 nella quale il dominio è Z 6 , 2 1A è da interpretarsi come l’uguaglianza, 2 1f come l’operazione di moltiplicazione, la costante a come la classe dello 0 e la costante b come la classe di 1. Si dica, per ciascuna delle formule, se sono vere, false, soddisfacibili ma non vere in ciascuna delle due interpretazioni assegnate. Si porti la formula c) in forma normale prenessa e si dica se si tratta di una formula logicamente valida. Esercizio 2 Si consideri la struttura algebrica (Z, ) in cui la legge di composizione interna  è così definita:  x, y ϵ Z x  y = x + y + 2 dove + denota l’usuale operazione di addizione di numeri interi. 1. Si dimostri che è un gruppo. 2. Denotati con P e D rispettivamente l’(Z, ) insieme dei numeri pari e l’insieme dei numeri dispari, si stabilisca se ( P, ) e ( D, ) sono sottogruppi di (Z, ). In caso affermativo si stabilisca se sono sottogruppi normali. 3. Si consideri l’applicazione f : Z  Z così definita:  x ϵ Z f (x) = 2x e si stabilisca se f è un omomorfismo tra i gruppi (Z, ) e (Z, +). GIUSTIFICARE OGNI RISPOSTA 2 Traccia di soluzione della seconda prova in itinere del 10/7/2015 Esercizio 1 La formula a) nell’interpretazione 1) dice che in Z7 esistono divisori dello…