Soluzionesecondaprova2013

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Prova intermedia Docente: 27 giugno 2013 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Dato il sistema lineare    3x + y = 1 x + 2y = −2 x − y = −3 (1) a) scrivere le equazioni normali del sistema, e determinare la soluzione ai minimi quadrati del sistema; b) motivare perch` e la soluzione ` e unica; c) indicata con A la matrice dei coefficienti del sistema, determinare il vettore di Col(A) pi` u vicino a [1, −2, −3]T . Svolgimento. a) Poniamo A =   3 1 1 2 1 −1   b =   1 −2 −3   . Un semplice calcolo mostra che r(A) = 2 mentre r(A|b) = 3 quindi, per il teoreme di Rouch´ e-Capelli, il sistema non ammette soluzione. Le equazioni normali del sistema AT Ax = AT b in qusto caso sono: [11 4 4 6 ] [x y ] = [−2 0 ] . La soluzione del sistema ` e data da ˜x = [−6/25, 4/25]T . c) Il vettore cercato ` e la proiezione ortogonale di [1 , −2, −3]T su Col( A) e corrisponde al vettore A˜x = 1/25[−14, 2, −10]T . 2. Si consideri la matrice A =   k 2 3 0 0 1 k 0 k   a) Determinare per quali valori del parametro reale k l’applicazione lineare LA : R3 →R3 definita da A ` e iniettiva e per quali valori di k l’applicazione lineare LA ` e suriettiva; b) Determinare una base per il sottospazio Col( A) e per Col( A)⊥ al variare di k ∈R; c) Stabilire se esistono valori di k ∈R per cui Col( A) ` e contenuto in ker(A); d) Stabilire se esistono valori di k ∈R in corrispondenza del quale 2 ` e autovalore di A. Svolgimento. a) L’applicazione lineare LA da R3 in s` e ` e iniettiva se e solo se ` e suriettiva (infatti dim ker( LA) =…