Soluzioni

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Esercizi supplementari 25 2.22 Si consideri il sistema lineare seguente, in cui α, β ∈ R.        x + 2y + 3z = − 7 x + 2y + 4z = − 7 2x + 4y + 9z = − 14 x + 2y + αz = β (2.62) 1. Determinare per quali valori dei parametri α e β il sistema ammette soluzioni e scriverle nella forma v0 + Ker(A), dove v0 è una soluzione particolare e A è la matrice dei coefficienti. 2. Interpretare geometricamente i risultati del punto precedente. 3. Stabilire se esistono valori di γ ∈ R per cui il vettore [1, 1, 1, γ ]t appartiene a Col(A). Soluzione. Il sistema ha soluzione quando v = [ − 7, − 7, − 14, β ]t ∈ Col(A); in conside- razione della richiesta al punto 3, conviene allora stabilire quando un generico vettore x = [x1, x2, x3, x4]t appartiene a Col(A). Dalla riduzione a scala    1 2 3 x1 1 2 4 x2 2 4 9 x3 1 2 α x 4    ↦→    1 2 3 x1 0 0 1 − x1 + x2 0 0 0 x1 − 3x2 + x3 0 0 0 ( α − 4)x1 − (α − 3)x2 + x4    (2.63) e dal teorema di Rouché si vede che x ∈ Col(A) quando le coordinate di x sono soluzione del sistema { x1 − 3x2 + x3 = 0 (α − 4)x1 − (α − 3)x2 + x4 = 0, (2.64) che rappresenta un insieme di equazioni per Col(A). Il vettore w = [1, 1, 1, γ ]t non soddisfa la prima delle (2.64), dunque w ̸∈ Col(A) per nessun valore di γ . Per il vettore v, invece, la prima equazione è soddisfatta indipendentemente da β e la seconda si riduce a β + 7 = 0 ; dunque il sistema (2.62) ha soluzioni solo quando β = − 7. Se sotituiamo v per x con questo valore di β nella riduzione a scala (2.63) e risolviamo con sostituzione retrograda, troviamo { x + 2y + 3z = − 7 z = 0, [x y z ] = [− 7 0 0 ] + t [− 2 1 0 ] . (2.65) Dunque possiamo prendere v0 = [ − 7, 0, 0]t e Ker(A) = ⟨[− 2, 1, 0]t⟩. Quanto all’interpreta- zione geometrica, le equazioni del sistema (2.63) rappresentano quattro…