soluzioniappellofebbraio2011

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria 1 F ebbraio 2011 Docente: Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Si consideri il sistema    kx + y = k x + ky = 1 x + y = k dove k ` e un parametro reale. (a) determinare per quali valori del parametro k il sistema ammette soluzioni; (b) in corrispondenza di tali valori del parametro determinare tutte le soluzioni del sistema; (c) posto k = 2 determinare la soluzione ai minimi quadrati. Soluzione. (a) Affinch` e esista soluzione del sistema Ax = b deve essere r(A) = r(A|b) quindi necessariamente det( A|b) = 0. Si ha che det( A|b) = ( k − 1)2(k + 1). Per k ̸= ± 1 il sistema non ha soluzioni. Per k = 1 si ha che r(A) = r(A|b) = 1 mentre per k = −1 si ha r(A) = r(A|b) = 2 quindi in entrambi i casi il sistema ammette soluzioni. (b) Per k = 1 il sistema, che ha ∞1 soluzioni, si riduce all’equazione x + y = 1. Le sue soluzioni sono x = [1 , 0]T + h[1, −1]T , al variare di h ∈R. Per k = −1 si risolve il sistema equivalente { x − y = 1 x + y = −1 la cui unica soluzione ` e x = [0, −1]T . (c) Poniamo k = 2. Le equazioni normali del sistema sono date da AT Ax = AT b, dove AT A = [6 5 5 6 ] AT b = [7 6 ] . Risolvendo il sistema lineare { 6x + 5y = 7 5x + 6y = 6 (1) si trova la soluzione ai minimi quadrati ˆ x= [12/11, 1/11]T che ` e unica dato che il rango della matrice quadrata AT A ` e 2. 2. Sia L l’applicazione lineare che, rispetto alla base canonica di R3, ` e rappresentata dalla matrice A =   4 2 2 2 2 0 2 0 2   . (a) Determinare, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A; (b)…