Soluzioniappellofebbraio2013

Pagina 1

Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e Geometria T erzo Appello Ingegneria Matematica 11 febbraio 2013 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate Esercizio 1 Si verifichi che il sistema lineare    2x + 3y = 1 x + y = 7 4x + 3y = 5 non ammette soluzione, e se ne determini la soluzione ai minimi quadrati. Si calcoli poi la proiezione ortogonale di [ 1; 7; 5]T sul sottospazio di R3 generato dai vettori [2 ; 1; 4]T e [3 ; 1; 3]T . Soluzione Il sistema non ha soluzioni perch´ e la matrice completa del sistema   2 3 1 1 1 7 4 3 5   ha rango tre. Per trovare la soluzione ai minimi quadrati, se A denota la matrice dei coefficienti delle equazioni del sistema e b il vettore dei termini noti, risolviamo il sistema delle equazioni normali AT Ax = AT b: { 21x + 19y = 25 19x + 19y = 19 Sottraendo la seconda equazione alla prima otteniamo x = 3 e quindi sostituendo nella seconda troviamo y = 2, quindi la soluzione ai minimi quadrati ` e v = [3 ; 2]T . La proiezione ortogonale di b sullo spazio colonna di A ` e c = Av = [0; 1; 6]T : ( lo spazio colonna ` e il piano di equazione x 6y + z = 0). Esercizio 2 (a) Si verifichi che le colonne della matrice B =   2 3 6 3 6 2 6 2 3   ; considerate come vettori dello spazio euclideo R3 col prodotto scalare standard, sono a due a due perpendicolari. Si calcoli la norma di tali vettori, e si determini l’unico scalare k tale che la matrice A = kB ` e ortogonale con determinante uguale a uno. (b) Sia A = kB la matrice ortogonale del punto (a). Per il teorema di Eulero A rappresenta una rotazione dello spazio attorno a un asse passante per…