Soluzioniappelloluglio2011

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini 13 Luglio 2011 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Si consideri la matrice A =   −1 −2 1 3 1 −4 2 0 2 −2 1 −3   ; (a) trovare la dimensione e una base dei sottospazi Col( A), Row( A), ker( A); (b) risolvere, se possibile, il sistema lineare Ax = b dove b = [1, 5, 4]T . Soluzione. (a) Riduciamo a scala la matrice A:   −1 −2 1 3 1 −4 2 0 2 −2 1 −3   − →   −1 −2 1 3 0 −6 3 3 0 −6 3 3   − →   −1 −2 1 3 0 −6 3 3 0 0 0 0   = U. Abbiamo che Row( A) = Row( U), dim Row( U) = 2, una base per Row( A) ` e data, ad esempio, da {[−1, −2, 1, 3], [0, −2, 1, 1]} e dim Row( A) = r(A) = 2. Lo spazio colonna Col(A) ha dimensione 2 = r(A) e una sua base ` e data, ad esempio, dalle prime due colonne di A: {[−1, 1, 2]T , [−2, −4, −2]}. Infine, ker( A) = ker( U), ha dimensione 4 − r(A) = 2 e si trova risolvendo il sistema lineare omogeneo avente U come matrice dei coefficienti: {x + 2y − z − 3u = 0 2y − z − u = 0. Si trova ker( A) = {v = t[2, 0, −1, 1]T + s[0, 1, 2, 0]T }. (b) Riduciamo a scala la matrice A|b e otteniamo:   −1 −2 1 3 1 0 −6 3 3 6 0 0 0 0 0   . Essendo r(A|b) = r(A) = 2, per il Teorema di Rouch´ e-Capelli, il sistema ammette ∞2 soluzioni che si trovano sommando elementi in ker( A) ad una soluzione particolare del sistema. Per determinare una soluzione particolare, consideriamo il sistema {x + 2y − z − 3u = −1 2y − z − u = −2. e poniamo y = z = 0. Si trova u = 2 e x = 5. Soluzioni del sistema sono tutti e soli i vettori della forma [5 , 0, 0, 2]T + t[1, 0, −1, 1]T + s[0, 1, 2,…