Soluzioniappellosettembre2012

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Esercizio 1 Date le matrici A =   1 2 3 0 4 0 0 0 4   , B =   3 1 −1 1 3 1 −1 1 3   stabilire se l’equazione B = X−1AX ammetta una soluzione X nell’insieme delle matrici 3 × 3 invertibili, e in caso affermativo determinare due matrici 3 × 3 invertibili S e T tali che X = ST−1 sia soluzione dell’equazione (non ` e richiesto il calcolo di T−1). L’equazione ammette una soluzione X nell’insieme delle matrici ortogonali? Ripetere l’esercizio lasciando A invariata ma sostuituendo la matrice B con B =   1 2 3 0 4 4 0 0 4   Soluzione La questione ` e se le matrici B sono simili alla matrice A. Tutte e tre le matrici hanno lo stesso polinomio caratteristico: un autovalore semplice λ = 1 e un autovalore doppio (molteplicit` a algebrica 2) λ = 4. La matrice A ` e diagonalizzabile perch´ e il rango di A − 4I ` e 1, quindiλ = 4 ha molteplicit` a geometrica 2 e tutti gli autovalori di A sono regolari. La prima matrice B ` e diagonalizzabile perch´ e ` e simmetrica, ed ` e simile adA perch´ e comeA ` e simile alla matrice diagonaleD = diag(1, 4, 4). La seconda matrice B non ` e diagonalizzabile, perch´ e per essa l’autovaloreλ = 4 ha molteplicit` a geometrica 1, perci` o non ` e simile adA. In conclusione l’equazione B = X−1AX ammette soluzione X nell’insieme delle matrici 3 × 3 invertibili solo per la prima matrice B. Per trovare S e T tali che X sia soluzione dell’equazione cercata, basta imporre S−1AS = diag(1, 4, 4) = T−1BT. La prima colonna di S dev’essere perci` o un autovettore di A relativo a λ = 1, men- tre la seconda e terza colonna devono essere una base dell’autospazio di A relativo all’autovalore λ = 4. Un autovettore di A relativo a λ = 1 ` e e1 = [1 , 0, 0]T perch´ e A ` e triangolare alta, mentre l’autospazio di A relativo all’autovalore λ = 4 ` e il piano…